高考数学总复习专题讲解33---数系的扩充与复数的引入.doc

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1、高考数学总复习专题讲解33数系的扩充与复数的引入[考点要求]　1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).

2、(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，即

3、z

4、＝

5、a＋bi

6、＝．2．复数的几何意义复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量＝(a，b)．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0).(2)复数加法的运算定律复数的加法满足

7、交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．1．(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i．2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*).3．z·＝

8、z

9、2＝

10、

11、2，

12、z1·z2

13、＝

14、z1

15、·

16、z2

17、，＝，

18、zn

19、＝

20、z

21、n.一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a∈C，则a2≥0.(　　)(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，当a＝0时，复数z为纯虚数．(　　)(3)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部为bi.(　　)(4)方程x2＋x＋1＝0没有

22、解．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、教材改编1．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)A．－1　B．0C．1D．－1或1A　[∵z为纯虚数，∴∴x＝－1.]2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是(　　)A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4iD　[∵＝＋＝－＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故选D.]3．设复数z满足＝i，则

23、z

24、等于(　　)A．1　　　　B．　　　　C．　　　　D．2A　[＝i，则z＝＝i，∴

25、z

26、＝1.]4．已知(1＋2i)＝

27、4＋3i，则z＝________．2＋i　[由(1＋2i)＝4＋3i得＝＝＝2－i.∴z＝2＋i.]考点1　复数的概念　复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解．　1.[多选]若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)A．z的虚部为－1B．

28、z

29、＝C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为－1－iABC　[由题意得z＝＝＝1－i.对于A，由z＝1－i得复数z的虚部为－1，故A正确；对于B，

30、z

31、＝

32、1－i

33、

34、＝，故B正确；对于C，由于z2＝(1－i)2＝－2i，所以z2为纯虚数，故C正确；对于D，z＝1－i的共轭复数＝1＋i，故D不正确．故选ABC.]2．(2019·唐山模拟)已知＝2＋i，则(z的共轭复数)为(　　)A．－3－iB．－3＋iC．3＋iD．3－iC　[由题意得z＝(2＋i)(1－i)＝3－i，所以＝3＋i，故选C.]3．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝＋2i，则

35、z

36、＝(　　)A．0B．C．1D．C　[法一：因为z＝＋2i＝＋2i＝－i＋2i＝i，所以

37、z

38、＝1，故选C.法二：因为z＝＋2i＝＝，所以

39、z

40、＝＝＝＝1，故选C.]　解决此类时，一定要先看

41、复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．考点2　复数的运算　复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把i的幂写成最简形式．　(1)(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i(2)计算：＝(　　)A．2B．－2C．2iD．－2i(3)(2019·惠州模拟)已知复数z的共轭复数

42、为，若(1－i)＝2i(