高考总复习椭圆经典例题.pdf

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1、椭圆标准方程典型例题例1已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c2，根据关系a2b2c2可求出m的值．x2y2解：方程变形为1．因为焦点在y轴上，所以2m6，解得m3．62m又c2，所以2m622，m5适合．故m5．例2已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，求出参数a和b（或a2和b2）的值，即可求得椭圆的标准方程．x2y2解：当焦点

2、在x轴上时，设其方程为1ab0．a2b290x2由椭圆过点P3，0，知1．又a3b，代入得b21，a29，故椭圆的方程为y21．a2b29y2x2当焦点在y轴上时，设其方程为1ab0．a2b290y2x2由椭圆过点P3，0，知1．又a3b，联立解得a281，b29，故椭圆的方程为1．a2b2819例3ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．（2）由G的轨迹方程G

3、、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．解：（1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系．设G点坐标为x，y，由GCGB20，知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a10，c8，有b6，x2y21y0故其方程为．10036x，yx，yx2y21y0（2）设A，G，则．①10036xx，3x2y2由题意有代入①，得A的轨迹方程为1y0，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）．y900324y34525例4已知P点在以坐标轴为对称

4、轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P点作焦点所在轴33的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．4525解：设两焦点为F、F，且PF，PF．从椭圆定义知2aPFPF25．即a5．12132312PF1从PFPF知PF垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPFF中，sinPFF2，1222112PF212510可求出PFF，2cPFcos，从而b2a2c2．1261633x23y23x2y2∴所求椭圆方程为1或1．510105x2y2例5已知椭圆方程1ab0，长轴端点为

5、A，A，焦点为F，F，P是a2b21212椭圆上一点，APA，FPF．求：FPF的面积（用a、b、表示）．1212121分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用SabsinC求面积．2解：如图，设Px，y，由椭圆的对称性，不妨设Px，y，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知：FF2PF2PF22PF·PFcos4c2．①1212122b2由椭圆定义知：PFPF2a②，则②2－①得PFPF．12121cos112b2故SPFPFsinsinb2

6、tan．F1PF221221cos2例6已知动圆P过定点A3，0，且在定圆B：x32y264的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程．分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，即定点A3，0和定圆圆心B3，0距离之和恰好等于定圆半径，即PAPBPMPBBM8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，x2y2半长轴为4，半短轴长为b42327的椭圆的方程：1．167说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程

7、，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．x211例7已知椭圆y21，（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方程；222（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过A2，1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kk，OPOQ2求线段PQ中点M的轨迹方程．分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．解：设弦两端点分别为Mx，y，Nx，y，线段MN的中点Rx，y，则1122x22y22，①①－②得

8、x1x2x1x22y1y2y1y20．11x22y22，②22yyx2x，③由题意知xx，则上式两端同除以xx，有xx2yy120，x1212121212xx12y