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时间：2020-08-13
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1、第二章三、收敛数列的性质唯一性有界性保号性、保序性4.收敛数列与其子列的关系三、收敛数列的性质.1.唯一性定理1.1(收敛数列极限的唯一性)即若则必有若极限则极限唯一.(用反证法)及且取因N1N+,使当n>N1时,假设即当n>N1时,从而使当n>N1时,证法1同理,因故N2N+,使当n>N2时,有从而使当n>N2时,有从而使当n>N1时,则当n>N时,矛盾！故假设不真!2.有界性例如:有界无界即若使(n=1,2,…).定理2.2(收敛数列的有界性)收敛的数列必定有界.证设取则当时,从而有取则有即收敛数列必有界.有注有
2、界性是数列收敛的必要条件，但不是充分条件.收敛有界关系：例如,虽有界，但不收敛.数列推论无界数列必发散.使当n>N时，恒有(1)若时,有3.保号性、保序性证（1）：取因故存在N1,使当n>N1时,从而当n>N1时,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有则当n>N时,便有与已知矛盾,于是定理得证.当n>N1时,推论：(收敛数列的保号性)(1)若则使当n>N时，(<)(<)(2)若则a0.(<)()恒有且对a>0,取证(1)(2)用反证法证明.注如：4.收敛数列与其子数列的关系(1)子数列的概念称为数列{xn}的一个子数
3、列(或子列)。例如,从数列中抽出所有的偶数项是其子数列.它的第k项是组成的数列：(2)收敛数列与其子数列的关系结论：（1)：也收敛，且都收敛于a（2)：注定理1°某收敛例如，但发散.2°若数列有两个子数列收敛于不同的极限，则原数列一定发散.例如，发散!
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