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《全同粒子体系与波函数的交换对称性课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、自然界中存在各种不同种类的粒子，例如电子，质子，中子，光子，π介子等。同一类粒子具有完全相同的内禀属性，包括静质量，电荷,自旋，磁矩，寿命等.粒子全同性概念与粒子态的量子化有本质的联系，如果没有态的量子化，就谈不上全同性.在量子力学中，把属于同一类的粒子称为全同（identical）粒子.4.5.1全同粒子的交换对称性全同粒子组成的多体系的基本特征是：任何可观测量，特别是Hamilton量，对于任何两个粒子交换是不变的，即交换对称性.例如氦原子中两个电子组成的体系,Hamilton量为当两个电子交换时，显然不变，即是两个电子交换的算符,亦即对于全同粒子多体系,任何两个粒子交换一下,其
2、量子态是不变的,即要求该体系的波函数对于粒子交换具有一定的对称性.那么,在忽略粒子相互作用的情况下,如何去构造具有完全交换对称性或反对性的波函数?接下来我们将对这问题做一般的讨论.考虑N个全同粒子组成的多体系的情况.对于有个全同粒子组成的多体系，其量子态用波函数描述,表示每一个粒子的全部坐标(例如包括空间坐标与自旋坐标).表示第粒子与第粒子的全部坐标的交换，即由于所有粒子的内禀属性完全相同，和这两种情况是无法分辨的。所以只能认为它们描述的是同一个量子态，因此它们最多可以相差一个常数因子,即用再运算一次，得显然，所以，因而代入式（2），可看出，有（而且只有）两个本征值，即.即全同粒子系
3、的波函数必须满足下列关系之一注意，对于全同粒子系式中.凡满足的，称为对称波函数；满足的,称为反对称波函数.所有都是守恒量.所以，全同粒子体系的交换对称性给了波函数很强的限制，即要求它们对于任意两个粒子交换，或者对称，或者反对称.实验表明凡自旋为的整数倍的粒子，波函数对于两粒子交换总是对称的，称为Bose子.例如π介子，光子.凡自旋为的半奇数倍的粒子，波函数对于两粒子交换总是反对称的，称为Fermi子.例如电子，质子，中子等.对于给定的一类全同粒子,其多粒子体系的波函数的交换对称性是完全确定的,而且与粒子的自旋有确定的关系.设有两个全同粒子(忽略它们的相互作用)，Hamilton量表示
4、为4.5.2两个全同粒子组成的体系表示单粒子的Hamilton量.与形式上完全相同，只不过互换而已.显然，设的本征方程为这种与交换相联系的简并,称为交换简并.但这两个波函数还不一定具有交换对称性.在上式中，为单粒子能量,为相应的归一化单粒子波函数,代表一组完备的量子数.设两个粒子中有一个处于态,另一个处于态,则与对应的能量都是对于Bose子，要求波函数对于交换是对称的.这里要分两种情况：是归一化因子（b),归一化波函数为（a），归一化的对称波函数可如下构成对于Fermi子，要求波函数对于交换是反对称的.归一化的波函数可如下构成著名的Pauli不相容原理：不允许有两个全同的Fermi子
5、处于同一单粒子态（这里k代表足以描述Fermi子量子态的一组完备的量子数，特别要注意：对于有自旋的粒子，必须包含描述自旋态的量子数）.在上式中,若，则，即这样的状态是不存在的.先考虑三个无相互作用全同Fermi子组成的体系.设三个粒子处于三个不同的单粒子态,,和,则反对称波函数可表示为4.5.3N个全同Fermi子组成的体系其中称为反对称化算符.类似可以推广到N个全同Fermi子组成的体系.设N个Fermi子分别处于态下，则反对称波函数可如下构成P代表N个粒子的一个置换(permutation).N个粒子分别排列在N个单粒子态上,共有N！个置换（包括恒等变换I）。在上式中称为反对称化
6、算符.从标准排列经过各种可能的置换P，得到一共得出N！项，即行列式展开后得出的N!项.Bose子不受Pauli原理限制，可以有任意数目的Bose子处于相同的单粒子态.设有个Bose子处于态上，，这些中，有些可以为0，有些可以大于1.此时，对称的多粒子波函数可以表示成4.5.4N个全同Bose子组成的体系注意：这里的P是指那些只对处于不同单粒子态上的粒子进行对换而构成的置换，因为只有这样，式（13）的求和中的各项才彼此正交.这样的置换共有个.因此，归一化的对称波函数可表示为最后应当指出，全同粒子体系的波函数的这种表达方式是比较繁琐的.描述全同粒子体系的量子态更为方便的理论形式是所谓的二
7、次量子化(secondquantization)方法，即粒子填布数（occupationnumber）表象.这些知识我们将在高等量子力学中学习!
