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《高三数学数列求和及综合应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.数列通项的求法,由递推关系式确定数列的通项.2.数列的性质、通项、求和.3.数列与不等式、数列与函数、数列与方程.4.数列与数学归纳法.学案14数列求和及综合应用1.(2009·四川)等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是()A.90B.100C.145D.190解析由题意知,(a1+d)2=a1(a1+4d),即∴d=2a1=2.∴S10=10a1+=10+90=100.B2.(2009·安徽)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,
2、以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是()A.21B.20C.19D.18解析∵(a2-a1)+(a4-a3)+(a6-a5)=3d,∴99-105=3d,∴d=-2.又∵a1+a3+a5=3a1+6d=105,∴a1=39.∴Sn=na1+=-n2+40n=-(n-20)2+400.∴当n=20时,Sn有最大值.B3.(2009·江西)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于()A.18B.24C.60D.90解析由得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+
3、6d).∵d≠0,∴2a1+3d=0.①∵S8=8a1+d=32,∴2a1+7d=8.②由①②得∴S10=-3×10+×2=60.C4.(2009·湖北)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如:()他们研究过图(1)中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似的,称图(2)中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是()A.289B.1024C.1225D.1378解析由图形可得三角形数构成的数列通项an=同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2,只有12
4、25满足a49==b35=352.C题型一数列与函数、方程的综合应用【例1】设p、q为实数,是方程x2-px+q=0的两个实根.数列{xn}满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-1-qxn-2(n=3,4,…).(1)证明:(2)求数列{xn}的通项公式;(3)若p=1,q=,求{xn}的前n项和Sn.(1)证明由求根公式,不妨设,则(2)解设xn-sxn-1=t(xn-1-sxn-2),则xn=(s+t)xn-1-stxn-2,由xn=pxn-1-qxn-2,得消去t,得s2-ps+q=0,∴s是方程x2-px+q=0的根.由题
5、意可知①当时,此时方程组∴{xn-t1xn-1}、{xn-t2xn-1}分别是公比为的等比数列.由等比数列的性质可得两式相减,得②当时,即方程x2-px+q=0有重根,∴p2-4q=0,即(s+t)2-4st=0,得(s-t)2=0,∴s=t.不妨设s=t=由①可知(3)解把p=1,q=代入x2-px+q=0,得x2-x+=0,解得【探究拓展】本题主要考查数列的递推公式、数列求和以及数列与方程的综合题,考查学生分析问题、解决问题以及推理论证的能力.变式训练1已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x-2,数列
6、{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn=Tn是数列{bn}的前n项和,求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最小正整数m.解(1)设二次函数为f(x)=ax2+bx(a≠0),则f′(x)=2ax+b，由于f′(x)=6x-2得a=3,b=-2,所以f(x)=3x2-2x.又由点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上，得Sn=3n2-2n.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5；当n=
7、1时,a1=S1=3×12-2=6×1-5=1.所以an=6n-5(n∈N*).(2)由(1)得知因此,要使(n∈N*)成立,m必须且仅需满足即m≥10，故满足要求的最小正整数m为10.题型二数列与不等式的综合应用【例2】(2009·江西)各项均为正数的数列{an},a1=a,a2=b,且对满足m+n=p+q的正整数m,n,p,q都有(1)当a=,b=时,求通项an;(2)证明:对任意a，存在与a有关的常数使得对于每个正整数n,都有(1)解由将a1=,a2=代入上式化简得故数列为等比数列，从而即可验证满足题设条件.(2)证明由题设的值仅
8、与m+n有关,记为bm+n,考察函数(x＞0),则在定义域上有故对n∈N*,bn+1≥g(a)恒成立.【探究拓展】本题考查数列的通项公式的求法、不等式的解法及利用函数的单调性解题的基本方法,考查了学生分析问
