高中数学中对称性问题.pdf

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1、对称性与周期性函数对称性、周期性的判断1.函数yf(x)有f(ax)f(bx)（若等式两端的两自变量相加为常数，如ab(ax)(bx)ab），则f(x)的图像关于x轴对称；当ab时，若2f(ax)f(ax)(或f(x)f(2ax))，则f(x)关于xa轴对称；2.函数yf(x)有f(xa)f(xb)（若等式两端的两自变量相减为常数，如(xa)(xb)ab），则f(x)是周期函数，其周期Tab；当ab时，若f(xa)f(xa)，则f(x)是周期函数，其周期T2a；3.函数yf(x)的图像关于点P(a,b)对称f

2、(x)f(2ax)2b(或f(x)=2bf(2ax))；函数yf(x)的图像关于点P(a,0)对称f(x)=f(2ax)(或f(ax)=f(ax))；4.奇函数yf(x)的图像关于点P(a,0)对称yf(x)是周期函数，且T2a是函数的一个周期；偶函数yf(x)的图像关于点P(a,0)对称yf(x)是周期函数，且T4a是函数的一个周期；5.奇函数yf(x)的图像关于直线xa对称yf(x)是周期函数，且T4a是函数的一个周期；偶函数yf(x)的图像关于直线xa对称yf(x)是周期函数，且T2a是函数的一个周期；6.函数y

3、f(x)的图像关于点M(a,0)和点N(b,0)对称函数yf(x)是周期函数，且T2(ab)是函数的一个周期；7.函数yf(x)的图像关于直线xa和直线xb对称函数yf(x)是周期函数，且T2(ab)是函数的一个周期。关系图像特征f(x)f(x)关于y轴对称f(x)f(x)关于原点对称f(ax)f(xa)关于y轴对称f(ax)f(ax)，或f(x)f(2ax)关于直线xa对称af(x)f(ax)关于直线x轴对称2abf(ax)f(bx)关于直线x对称2f(x)f(xa)周期函数，周期为a对点称、点直对(直P(a

4、,b)l:AxByC0C:f(x,y)0线称线轴)(对称中心)原点（0，0）(a,b)A(x)B(y)C0f(x,y)0M(x,y)(2xa,2yb)A(2xx)B(2yy)C0f(2xx,2yy)000000000x轴(a,b)AxB(y)C0f(x,y)0y轴(a,b)A(x)ByC0f(x,y)0直线xy(b,a)BxAyC0f(x,y)0直线xy(b,a)B(x)A(y)C0f(y,x)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f

5、(ym,xm)0xym0(bm,am)A(ym)B(xm)C0f(ym,xm)0点关于点的对称中心对称问题（点对称问题）直线关于点的对称曲线关于点的对称对称问题点关于直线的对称轴对称问题（线对称问题）直线关于直线的对称曲线关于直线的对称一、点对称(1)点关于点的对称点问题xxyy若点A(x,y),B(x,y),则线段AB中点M的坐标是(12,12)；据此可以解求点与点的112222中心对称，即求点M(x,y)关于点P(a,b)的对称点M'的坐标(x,y)，利用中点坐标公式可得00xxyya0,

6、b0，解算的M'的坐标为(2ax,2by)。2200例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点M'的坐标是(4,1).①点M(x,y)关于点P(a,b)的对称点M'的坐标(2ax,2by)0000;②点M(x,y)关于原点的对称点M'的坐标(2ax,2by)=(x,y)000000.(2)直线关于点对称①直线L：AxByC0关于原点的对称直线设所求直线上一点为M(x,y)，则它关于原点的对称点为M'(x,y)，因为M'点在直线L上，故有A(x)B(y)C0，即AxByC0；②直线l：AxByC0关于某一点P(a,b)的对

7、称直线l12它的求法分两种情况：1)、当P(a,b)在l上时，它的对称直线为过P点的任1一条直线。2)、当P点不在l上时，对称直线的求法为：1解法（一）：在直线l上任取一点M(x,y)，则它关于2P的对称点为M'(2ax,2by)，因为M'点在l上，把1M'点坐标代入直线在l中，便得到l的方程即为12A(2ax)B(2by)C0，简化为：AxByC2aA2bB0.解法（二）：在l上取一点M(x,y)，求出M关于P点的对称点M'(2ax,2by)的坐标。