波动方程的差分逼近.doc

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1、第五章双曲型方程的有限差分法4.1波动方程的差分逼近1.特征针对波动方程（1）其初值条件为其中是常数。其相应的特征方程为如何推导？学生普遍没学characteristicequation即得到两个特征方向：characteristicdirection（3）解（3），得到两族直线：2.显格式取空间步长及时间步长，用两族平行直线twofamilyofparallellines作矩形网格rectangle。在对方程（1）离散，得到（5.1）初始条件为（5.2）（5.3）（5.1）式逼近的截断误差为。由

2、于(5.3)式逼近截断误差为，因此对（5.3）的逼近可作适当改进。（5）可显示算出各网点的值。（5.1）简化后可以写成（6）针对混合问题：此时取空间步长及时间步长，同样建立离散格式（5），针对边值条件，可给出离散的边值条件3.稳定性分析为了利用Fourier方法，令，将（1）化成一阶偏微分方程组：（7）再令，则（7）变为（8）令及则（8）变为因此，差分方程（5）可写成与（5.1）等价并不直接，在时间上好像差点（10）按照Fourier方法，设，代入（10），消去公因子commonfactor和，得

3、到即其中为增长矩阵，其特征方程为（14）其根按模小于1的充要条件是absolutevalueofroot（15）即，此为必要条件。另外，（14）的两个根为因，故设，从而另一方面，其F模为根据上一章的结论，必须且只须存在常数使不等式成立：而若，则当时，，不等式不能成立，因此应要求。因此格式（10）稳定的充要条件是。稳定性条件的几何解释geometricalinterpretation从（6）可以看出，依赖于前两层的，，，，这四个值又依赖于，，，，，和，，，依次类推，可得到依赖于因此称轴上位于区间的网

4、格点成为差分解的依存域dependentregion。它是轴上被过的两条直线、切下的区间所覆盖的网域。而过的两条特征线为因此，差分方程稳定的必要条件即差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域。利用依存域的概念，可以证明，当时，差分解不收敛。如上图，意味着微分方程解的依存域大于差分解的依存域。固定，当步长变小，但不变，则依存域，不变，若改变，上的初值，但上的初值不变，则可取不同的值，而当时，是一串确定的数列，它不可能收敛到不同的。当时，差分方程稳定，因而差分解收敛。4.隐格式目的：得到绝对稳定的差分

5、格式。利用第层，层、层的中心差商的权平均去逼近，得到下列差分格式：（18）其中是参数。当就是显格式。我们感兴趣的是，此时差分格式等价于（19）其增长矩阵为可以证明的特征值按绝对值等于1,且是酉矩阵，因此，从而矩阵族一致有界，即（19）绝对稳定。综合习题1.证明：方程（14）其根按模小于1的充要条件是（15）2.证明矩阵的特征值按绝对值等于1。3.说明(19)是如何建立的。3.3双曲方程差分格式的构造1.迎风格式考虑线性常系数方程：equationwithconstantcoeffficient（1

6、）考虑初值问题，主要进行（1）的差分方程的构造。按照差商代替微商的办法，有下列三种格式：（2）（3）（4）（2）和（3）的截断误差为，（4）的截断误差为。下面进行稳定性分析。令网比，则（2），（3），（4）可写成（5）（6）（7）利用Fourier方法，令，代入上述三个式子中，消去公因子，得到（8）（9）（10）对于（10），由于其特征根的模不满足VonNeumann条件，故（10）对任何不稳定。对于（8），其特征根的模等价于=从而（8）稳定的充要条件是（12）同理，（9）的稳定的充要条件是（13

7、）亦可利用特征性质说明上述稳定性条件。令，则（1）可写成即（1）的特征线为若已知，，，要计算，假设，如下图，特征线偏左，故，再利用插值，得到这就是说，格式（2）的稳定性条件（12）意味着应该落在和之间，即差分方程依存域包含微分方程的依存域。针对变系数方程variablecoefficient（15）我们可以给出相应的差分格式：（17）此即迎风格式。2.Lax格式与Box格式利用积分推导格式：可以保证某些物理上的守恒性。ToEnsuretheconservation针对一阶拟线性守恒双曲方程（组）：

8、Quasilinear（18）设是平面上任意有界域，根据Green公式，其中，从而有（20）取为图5-10中矩形ABCD，则（21）上式中右端第一个积分用梯形公式，第二个积分中矩形公式，第三、四两个积分都用下矩形公式，则得到Lax格式：其截断误差为。Lax格式稳定的充要条件为。（23）下面推导Box格式。取为图5-11中矩形ABCD，再对方程（21）中的各项利用梯形公式离散，得到（24）3.3粘性差分格式Viscosity首先，在双曲方程中引入粘性项：（25）其中很小，再对抛物方程