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1、二次函数中相似三角形的存在性问题例1.（2011深圳）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。（1）求抛物线的解析式；（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。（3）如图15，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD
2、于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由。图13ABxyODC图14ABxyODCPQEF图15ABxyODC解：（1）设所求抛物线的解析式为：y＝a(x－1)2＋4，依题意，将点B（3，0）代入，得：a(3－1)2＋4＝0解得：a＝－1∴所求抛物线的解析式为：y＝－(x－1)2＋4（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………①设过A、E两点的一次函数解析式为：y＝kx＋b（k≠0），∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛
3、物线y＝－(x－1)2＋4，得y＝－(2－1)2＋4＝3∴点E坐标为（2，3）又∵抛物线y＝－(x－1)2＋4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D∴当y＝0时，－(x－1)2＋4＝0，∴x＝－1或x＝3当x＝0时，y＝－1＋4＝3,∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）又∵抛物线的对称轴为：直线x＝1，EF图6ABxyODCQIGHP∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝x＋1∴当x＝0时，y＝1∴点F坐标为（0，1）∴…………………………………
4、……③又∵点F与点I关于x轴对称，∴点I坐标为（0，－1）∴………④又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，∴只要使DG＋GH＋HI最小即可由图形的对称性和①、②、③，可知，DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：y＝k1x＋b1（k1≠0），分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y＝k1x＋b1，得：解得：过A、E两点的一次函数解析式为：y＝2x－1∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）∴四边形DFHG的周长最小为：DF
5、＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI图7ABxyODCMTN由③和④，可知：DF＋EI＝∴四边形DFHG的周长最小为。（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，要使，△DNM∽△BMD，只要使即可，即：MD2＝NM×BD………………………………⑤设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得△AMN∽△ABD，∴再由（1）、（2）可知，AM＝1＋a，BD＝，AB＝4∴∵MD2＝OD2＋OM2＝a2＋9，∴⑤式可写成：a2＋9＝×解得：a＝或a＝3（不合题意，舍去）∴点M的坐标为（，0）又∵点T在抛物线y＝－(x－1)2＋4图像上，∴当x＝时，y＝∴点T的坐标为（，）例2.如图
6、1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。⑴求抛物线的解析式；⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。例2题图图1图2图1分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况解:⑴由题意可设抛物线的解析式为∵抛物线过原点，∴∴.抛物
7、线的解析式为,即⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CDOB,图2由得,∴B(4,0),OB＝4.∴D点的横坐标为6将x＝6代入,得y＝－3,∴D(6,－3);根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO设OP交抛物线的对称轴于A
