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1、初等数论期末复习资料————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：数论教案§1整数的整除带余除法1整数的整除设a,b是整数,且b≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b整除a,记为b
2、a,也称b是a的因数,a是b的倍数.如果没有整数q,使得a=bq,则称b不能整除a,记为b∤a.例如2
3、4,4
4、-12,-5
5、15;2∤3，-3∤22.在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负.判断是否b
6、
7、a？当a,b的数值较大时,可借助计算器判别.如果b除a的商数是整数,说明b
8、a;如果b除a的商不是整数,说明b∤a.例1判断下列各题是否b
9、a？(1)7
10、127?(2)11
11、129?(3)46
12、9529?(4)29
13、5939?整除的简单性质(1)如果c
14、b,b
15、a,那么c
16、a;(2)如果d
17、a,d
18、b,那么对任意整数m,n,都有d
19、ma+nb.(3)如果都是m的倍数,是任意整数,那么是m的倍数.(4)如果c
20、a,d
21、b,那么cd
22、ab。例如：2
23、4,2
24、(-6),那么2
25、4+(-6),2
26、4-(-6).2
27、4
28、,3
29、(-6),那么2×3
30、4×(-6).例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除.练习证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除.2.带余除法设a,b是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0≤r＜b.(1)这里q称为b除a的商,r称为b除a的余数.例如-5=3×(-2)+15=3×1+2-5=(-3)×2+15=(-3)×(-1)+215=(-5)×(-3),-24=(-2)×12.事实上,以b除a的余数也可以是负的.例如-5=3×(-1)-2=3×(-2)+1.求b除a的余数,
31、也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行.具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b除a的余数=0,则b
32、a;如果b除a的余数≠0,则b∤a.例3利用计算器求余数:(1)7除127;(2)11除-129;(3)46除-9529;(4)-29除5939奇数、偶数及性质能被2整除的整数称为偶数.如,0,4,10,-6,-8都是偶数.不能被2整除的整数称为奇数.如,-5,-3,1,7,11都是奇数.偶数的形式为2n(n是整数);奇数的形式为2n-1(n是整数).奇数、偶数的性质:偶数±
33、偶数=偶数,奇数±奇数=偶数,奇数±偶数=奇数,偶数×偶数=偶数,偶数×奇数=偶数,奇数×奇数=奇数.例如2+4,2-4,3+1,3-1,3+4,6+5设a,b是任意两个整数,则a+b与a-b同奇同偶.例如3+5,3-5,6+3,6-3,例4设a,b,n是任意3个整数,而且,证明n是偶数.例5设a是任一奇数,试证明8
34、.例6设n是正整数,证明形如3n-1整数不是完全平方数.证明对任意整a,设a=3q或a=3q±1,于是=9或=9±6q+1=3(3±2q)+1.即≠3n-1,故3n-1不是完全平方数.练习设n是
35、正整数,证明形如4n-1、4n+2的整数都不是完全平方数.习题:P3-4:1t,2t.§2公因数、最大公因数1.最大公因数、辗转相除法中小学里的公因数、最大公因数的概念：几个数的公有因数叫做这几个数的公因数.公因数中最大的整数称为这几个数的最大公因数.(1)几个数:不能确定;(2)因数、公因数:都是正整数;最大公因数:没有专门的符号.定义设,d都是整数,d≠0,如果,i=1,2,…,n,称d是的公因数,的公因数中最大的整数称为最大公因数.记为.如果=1,则称互质。例1(-6,8)=2,(-3,6,-9,15)
36、=3,(1,2,3,-4)=1.在中小学数学里,求正整数a,b的最大公因数主要有这个样几种方法：(1)观察法；(2)将a,b的所有公因数都求出来,再从中挑最大的；(3)用短除法.辗转相除法:设a,b是正整数,而且有……………（*）。例2用辗转相除法求(123,78),练习:用辗转相除法求(66,54).下面说明辗转相除法的正确性.先证明性质1设整数a,b,c不全为0,而且有整数q使得a=bq+c则(a,b)=(b,c).证明由a,b,c不全为0知,(a,b)、(b,c)都存在.因(a,b)
37、a,(a,b)
38、b
39、,c=a-bq,得(a,b)
40、c,又得(a,b)≤(b,c);反之,由(b,c)
41、b,(b,c)
42、c,a=bq+c,得(b,c)
43、a,(b,c)≤(a,b).所以(a,b)=(b,c).由(*)式知而n是有限正整数,再由性质1得…=.2.最大公因数的性质最大公因数的几个性质：性质2(am,bm)=(a,b)m,m>0.(短除法的根据)例3求(84,90),(120,36).(84,90)=3(28,
