离散数学-代数系统课件.ppt

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1、第5章代数系统离散数学本章说明本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质代数系统定义及其实例子代数与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础5.1二元运算及其性质5.2代数系统本章小结作业本章内容5.1二元运算及其性质定义5.1设S为集合，函数f：S×S→S称为S上的二元运算，简称为二元运算。举例f:N×N→N，f()＝x+y是自然数集合N上的二元运算f:N×N→N，f()＝x-y不是自然数集合N上的二元运算称N对减法不封闭。说明验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点：S中任何两个元素都可以进行这种运算，且

2、运算的结果是唯一的。S中任何两个元素的运算结果都属于S，即S对该运算是封闭的。（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减法和除法不是。（2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是。（3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加法、减法不是。（4）设S＝{a1,a2,…,an}，aiaj=ai为S上二元运算。例5.1例5.1（5）设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集合，即则矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算。（6）S为任意集合，则∪、∩、－、为P(S)上的二元运算。（7）SS为S上

3、的所有函数的集合，则合成运算为SS上的二元运算。一元运算定义5.2设S为集合，函数f：S→S称为S上的一元运算，简称为一元运算。例5.3（1）求一个数的相反数是整数集合Z、有理数集合Q和实数集合R上的一元运算。（2）求一个数的倒数是非零有理数集合Q*、非零实数集合R*上的一元运算。（3）求一个复数的共轭复数是复数集合C上的一元运算。（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补运算是P(S)上的一元运算。（5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，ASS，求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。（6）在n(n≥2)阶实矩阵的集

4、合Mn(R)上，求一个矩阵的转置矩阵是Mn(R)上的一元运算。一元运算举例可以用、、·、、、等符号表示二元或一元运算，称为算符。设f:S×S→S是S上的二元运算，对任意的x,y∈S，如果x与y的运算结果为z，即f()＝z，可以利用算符简记为xy=z。对一元运算，x的运算结果记作x。例题设R为实数集合，如下定义R上的二元运算x,y∈R，xy=x。那么34=3，0.5(3)=0.5。二元与一元运算的算符函数的解析公式运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）二元运算的运算表anan…ana2ana1an……

5、………a2an…a2a2a2a1a2a1an…a1a2a1a1a1an…a2a1一元运算的运算表anan……a2a2a1a1aiai二元与一元运算的表示例5.4设S={1,2}，给出P(S)上的运算和~的运算表，其中全集为S。的运算表{1}{2}{1,2}{1,2}{1}{1,2}{2}{2}{2}{1,2}{1}{1}{1,2}{2}{1}{1,2}{2}{1}~的运算表{1,2}{1}{2}{2}{1}{1,2}~aiai解答例5.4例5.5设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算如下xy＝

6、(xy)mod5，x,y∈S求运算的运算表。解答例5.5123411234224133314244321定义5.3设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有xy=yx，则称运算在S上满足交换律。定义5.4设为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有(xy)z=x(yz)，则称运算在S上满足结合律。说明：若+适合结合律，则有(x+y)+(u+v)＝x+y+u+v。二元运算的性质二元运算的性质定义5.5设为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有xx=x，则称运算在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足xx

7、=x，则称x为运算的幂等元。举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。例题Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集；Mn(R)为n阶实矩阵集合,n2；P(B)为幂集；AA为从A到A的函数集，

8、A

9、2。集合运算交换律结合律幂等律Z,Q,R普通加法+普通乘法有有有有无无Mn(R)矩阵加法+矩阵乘法有无有有无无P(B)并∪交∩相对补对称差有有无有有有无有有有无无AA函数复合无有无定义5.6设和为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，有x(yz)＝(xy)(xz)（左分配律）(yz

10、)x＝(yx)(zx)（右分配律）则称运算对运算满足分配律。说明：若*对运算分配律成立，则*对运算广义分配律也成立。x