离散数学代数系统.ppt

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1、代数系统第六章§6.1代数运算及代数系统二元代数运算：设A是非空集合,如R*=R–{0}上的乘法,除法运算:f:AnA称为A上的n元运算,n为运算阶.函数f:AA是集合A上的一元代数运算,简称一元运算;如集合R－{0}上的求倒数运算；函数f:A2A称为A上二元代数运算.一、代数运算的概念集合的封闭性：给定集A,如Z对加、减、乘法封闭,对除法不封闭.如果对A上的元素进行某种运算后,运算结果仍在A中,则称集A对该种运算封闭。二、常见二元运算：(1)设Mn(R)表示所有n阶实矩阵的集合,则矩阵加法和乘法运算是Mn(R)上的二元运算,且封闭;

2、(2)S为任意集合,P(S)为其幂集,则∪,∩,–,都是P(S)上的二元运算,且封闭；(3)S为集合,Ss是S上的所有函数的集合,则合成运算o是Ss上的二元运算.三、二元运算的性质：(1)设是定义在集A上的二元运算,若对任意的x,yA都有yx=xy,则说具有可交换性；(2)如果对任意的x,y,zA,都有(xy)z=x(yz),则说具有可结合性；(3)设,是A上的两个二元运算,如果对任意的x,y,zAx(yz)=(xy)(xz)(yz)x=(yx)(zx)则说对具有可分配性.(4)设,

3、是A上的两个可交换二元运算,如果对于任意的x,y,zA,都有x(xy)=xx(xy)=x则称运算对满足吸收律.如：N上定义两个二元运算,如下xy=max(x,y)xy=min(x,y)则对满足吸收律.(5)是A上的一个二元运算,如果x,xx=x,则说是等幂的(6)如果(ⅰ)xy=xz且x,是指集A关于运算的零元，有y=z,(ⅱ)yx=zx且x,有y=z则是满足消去律.四、集A的特殊元：(1)幺元：是集A上的二元运算,如果elA且xA,有elx=x,则el为A中关于的左幺元；

4、如何定义右幺元er(自己叙述一遍！)如果A中的一个元素e,既是左幺元又是右幺元,则e为A中关于的幺元.可以证明：幺元是唯一的.证明：反证,若有两个幺元e,e',则由幺元的定义知e=e'e=e'矛盾.(2)零元：如果有一个元素lA,使得xA,lx=l,则l称为左零元；右零元呢？(r)零元呢？()类似于幺元,可证A中零元唯一.(3)逆元：是A上的一个运算,e是幺元,如果对于A中元素a,存在bA,使得ba=e,则称b为a的左逆元；右逆元呢？逆元呢？(a–1)可证：逆元存在则唯一(要求可结合)证明：设b,c为a的两个

5、不同逆元,则ba=ab=eca=ac=e从而b=be=b(ac)=(ba)c=ec=c矛盾.(4)幂等元：是A上的二元运算,对于xA,如果有xx=x,则x是A中的幂等元,如幺元和零元.五、代数系统：非空集合S与S上的k个运算f1,f2,…,fk组成的系统,称为代数系统,记作：如,,,,§6.2同态与同构同态：V1=,V2=是两个代数系统,其中fi,i(i=1,2,

6、…,n)都是二元运算。x,yA,f(xfiy)=f(x)if(y)(i=1,…,n)则称f是V1到V2的一个同态映射,也说V1与V2同态,记作V1fV2或V1～V2.f如果存在映射f:AB满足：如：~(只要定义f:R+R,f(ab)=lgab=lga+lgb=f(a)+f(b))当n=1时，设V1=，V2=是两个代数系统。如果存在f:AB.使x,yA，f(xy)=f(x)f(y)则称f是V1到V2的一个同态映射。同态象：设V1=～V2=,则称

7、>是V1在f下的同态象.f同态的性质：设V1=～V2=,f(1)如果f:AB是满射,则说f为V1到V2满同态的(2)如果f是单射,则说f为V1到V2单同态的(3)如果f是双射,则说f为V1与V2同构,记作(4)当V1=V2时,则说f是V1的自同态(自同构)例6.1,是两个代数系统,f:RR,且xR,f(x)=2x,验证f是到的同态,并且是单同态.验证：任取x,yR由于f(x+y)=2x+y=2x2y=f(x)f(y)所以f是到的自同态；其次,对任取

8、的x,yR,当xy时,2x2y,即f(x)f(y),f为单射,从而f是单自同态例6.2设A={a,b,c,d},B={[0],[1],[2],[3]}且f:AB,f(a