近世代数课件(全)--3-4-理想与商环.ppt

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1、近世代数第三章环与域§4理想、商环一、理想的定义与判别定义1设为环,为的非空子集.满足:则称的一个理想.如果为●由定义可知,理想一定是子环.与本身都是理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.的理想.这两个●吸收律子群的不等于它自身的理想(如果有的话)的真理想.除环只有零理想与单位理想.●●称为例1试求的所有理想.的全部子群为：为的理想.的全部理想为解由此知,二、理想的运算定义2设为环,为的理想.分别称为理想的和与交.集合定理1环的两个理想的和与交都是的理想.证明(1)是的理想.（2）是的理想.定理2环的任意有限多个理想的和(因为).还是理想.的任意多个理想的交还是理想.设

2、为环,.令∑是的所有包含的理想所组成的集合环定义4设为环,,称环中所有的理想的交为由生成的主理想,,即包含记作是中包含的最小理想.定理3设为有单位元的交换环,,则证明定理4整数环的每个理想都是主理想.定义5设为环,,则为的理想,称为生成的理想,记作由例2在中,如果,则是怎样都是零,则解(1)如果的主理想?(2)如果不全为零.设为的最大公因数,则存在,使得,从而又因都是的倍数,即,所以从而例3在高斯整环中,理想解由哪些元素组成?为偶数，在中无解，为奇数，练习证明：Z[x]中(2,x)不是主理想;Q[x]中(2,x)是主理想.三、商环设为环，为的理想.则是的加群意义下的不变

3、子群:（2）①，则②（3）（1）为在中的一个陪集:（4）的加法与乘法:则关于如上所定义的运算构成环.，负元：零元：定义6称环为商环，也称为环的模理想的剩余类环.为交换环,则也是交换环.有单位元,则也有单位元,且如如例4设为大于1的正整数,则为的理想,从而有商环即商环就是模的剩余类环.例5设为高斯整环,试确定解：从而,对任意的为偶数,则为奇数,则所以，这是一个仅有两个元素的域.如果如果