高等代数多项式-一元多项式-整除的概念课件.ppt

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1、高等代数中南大学数学院高等代数课题组一、一元多项式的定义二、多项式环§1.2一元多项式1．定义个非负整数，形式表达式设是一个符号（或称文字），是一称为数域P上的一元多项式．其中等表示．常用一、一元多项式的定义系数，n称为多项式　　的次数，记作③若，即，则称之为零多项式．零多项式不定义次数．区别：零次多项式多项式中，称为i次项，称为i次项系数．①注：②若则称为的首项，为首项零多项式2．多项式的相等若多项式与的同次项系数全相等，则称与相等，记作即，3．多项式的运算：加法（减法）、乘法加法：若在中令则减法：中s次项的系数为注:乘法：4．多项式运算

2、性质1)为数域P上任意两个多项式，则仍为数域P上的多项式．2)①②若则且的首项系数的首项系数×的首项系数.3)运算律9例1设(1)证明:若则(2)在复数域上(1)是否成立？(1)证：若则于是为奇数.故从而从而但为偶数.这与已知矛盾.(2)在C上不成立．如取从而必有又均为实系数多项式，所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作P称为的系数域．二、多项式环定义一、带余除法二、整除§1.3整除的概念对一定存在使成立，其中或一、带余除法定理并且这样的是唯一决定的．称　　为　　除　　的商，　　为　　除的余式．①若则令结论成立．②若

3、设的次数分别为证：当时，结论成立．显然取即有下面讨论　　　的情形，假设对次数小于n的，结论已成立．先证存在性．对作数学归纳法．次数为０时结论显然成立．设　　的首项为的首项为则与首项相同，因而，多项式的次数小于n或f1为0．若令即可．若由归纳假设，存在使得现在来看次数为n的情形．其中或者于是即有使成立．的存在性得证．由归纳法原理，对再证唯一性．若同时有其中其中和则即但矛盾．所以从而唯一性得证．例1．求　　除　　的商式和余式＋)附：综合除法的商式和余式可按下列计算格式求得：这里，若则除去除①求一次多项式的商式及余式．②把表成的方幂和，即表成的形

4、式．说明：综合除法一般用于例2．求　　除　　的商式和余式解:由＋)１　　－１　　－１　　　０１有１4１解:∵1０　　０　　０　　０　　０例3.把表成的方幂和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=二、整除1．定义设若存在使则称整除记作①时，称为的因式，为的倍式．②不能整除时记作：③允许，此时有即区别：零多项式整除零多项式，有意义．除数为零，无意义．④当时，如果则除所得的商可表成定理12．整除的判定3．整除的性质1)对有对有即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任

5、一多项式．时，　与　　有相同的因式和倍式．2)若　　　，则3)若则证：若则使得使得若则皆为非空常数．4)若（整除关系的传递性）成立．故有5)若则对有注：反之不然．如但6)整除不变性：两多项式的整除关系不因系数域的扩大而改变．例3．求实数　　　满足什么条件时多项式整除多项式附：整数上的带余除法对任意整数a、b（b≠0）都存在唯一的整数q、r，使a＝qb＋r，其中