高等代数课件--§1.2 一元多项式

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1、§1.2一元多项式一、一元多项式的定义１．定义：设x是一个符号(或称文字),n是一个非负整数，形式表达式anxn+an1xn1+…+a1x+a0其中a0,a1,…,an1,anP,称为系数在数域P上的一元多项式，或简称为数域P上的一元多项式,常用f(x),g(x),h(x)等表示．注意：在多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0中，1)aixi称为i次项，ai称为i次项系数;2)若an0，则称anxn为的首项，an为首项系数，n称为多项式的次数，记作(f(x))=n.3)若a0=a1=…=an=0，即f(x)=0，则称之为

2、零多项式．零多项式不定义次数区别(零多项式与零次多项式）零多项式：f(x)=0，零次多项式：f(x)=a，aP,a02．多项式的相等若多项式f(x)与g(x)的同次项系数全相等，则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x)即，若f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，则f(x)=g(x)m=n,ai=bi,i=0,1,…,n3.多项式的运算若g(x)=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,其中ai,bjP,

3、i=0,1,…,n;j=0,1,…,m1)加法若nm，在g(x)中令bn=bn1=…=bm+1=0则若mn，在f(x)中令am=am1=…=an+1=0则2)减法—加法的逆运算当nm时，当mn时，3)乘法xi的系数4．多项式运算性质若f(x),g(x)为数域P上任意两个多项式，则1)次数与首项性质①(f(x)g(x))max((f(x)),(g(x)))②若f(x)0,g(x)0,则f(x)g(x)0且(f(x)g(x))=(f(x))+(g(x))③f(x)g(x)的首项系数等于f(x)的首项系数与g(x)的首项系数之

4、积2）运算封闭性f(x)g(x),f(x)g(x)仍是数域P上的多项式3)运算律①加法交换律f(x)+g(x)=g(x)+f(x)②加法结合律(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))③乘法交换律f(x)g(x)=g(x)f(x)④乘法结合律(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x))h(x))⑤分配律f(x)[g(x)]+h(x)]=f(x)g(x)+f(x)h(x)⑥消去律若f(x)g(x)=f(x)h(x),f(x)0,则g(x)=h(x)二、多项式环所有数域P中的一元多项式的全体称为数域P上的一元多项式环，记作P

5、[x]，P称为P[x]的系数域．1.定义2.常见多项式环R[x]，Q[x]，C[x]例1设f(x),g(x),h(x)R[x]若f2(x)=xg2(x)+xh2(x),证明f(x)=g(x)=h(x)=0(2)在复数域上(1)是否成立？(1)证明若f(x)0,则xg2(x)+xh2(x)0,因为(f2(x))为偶数,而(xg2(x)+xh2(x))为奇数。矛盾∴f(x)=0，从而g2(x)+h2(x)=0，于是故g(x)=h(x)=0思考：此处是否还有其它方法？(2)在C上不成立如取f(x)=0,g(x)=ix,h(x)=x。其中f(x)g(x

6、)中s次项的系数为返回