反函数求解与性质.doc

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1、第5讲：反函数欢迎共阅【复习要求】1、理解反函数的意义，会求一些函数的反函数。2、经历探索互为反函数的两个函数图像之间关系的过程，掌握利用yf(x)与欢迎共阅yf1(x)的性质解决一些问题．【教学重点】反函数的求法，反函数与原函数的关系．欢迎共阅1、反函数的概念：对于函数【知识要点】yf(x)，设它的定义域为D，值域为A，对应法则为f，欢迎共阅如果对于每一个yA值，都有唯一的xD，满足f(x)y，这样得到的x关于y的函欢迎共阅数叫做yf(x)的反函数，记作yf1(x)，（xA）。欢迎共阅2、求反函数的一般步骤：（1）解出x；（2）互换x、y；（3）写出反函数的定义域（即原函数的值

2、域）。注：求分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数再合成。欢迎共阅3、反函数的性质：（1）．互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；即：bf(a)af1(b)欢迎共阅两个互为反函数的图像如果有交点，它们的交点不一定都在直线y＝x上（2）．具有单调性的函数必有反函数，且他们的单调性相同。但反之不一定成立。（3）．互为反函数的两个函数在它们各自的定义域具有相同的单调性．（4）．一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是

3、奇函数。欢迎共阅（5）．函数y=f(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域；函数y＝f(x)的值域是欢迎共阅它的反函数yf1(x)的定义域．（6）．若y=f(x)(x∈A)，yf1(x)与(x∈C)互为反函数，则有欢迎共阅f(f1(x))x(xC)f1(f(x))x(xA)欢迎共阅（7）．x=f(y)与yf1(x)是同一函数，因为它们的定义域、值域对应相同(都分别是原来函数的值域和定义物)，对应法则相同；欢迎共阅（8）．yf(xa)的反函数f1(xa)；f(kxb)的反函数为：yf1(x)b；k欢迎共阅【典型例题】类型1：判断一个函数是否存在反函数欢迎共阅例1、“函数y

4、f(x)在定义域上是单调函数”是“函数条件。yf(x)有反函数”的充分不必要欢迎共阅例2、判断下列说法是否正确，并说明理由。（1））奇函数一定有反函数。（错，反例：三角函数）（2））偶函数一定没有反函数。（错，反例：f(x)=0）（3））原函数与其反函数交点必在直线yx上。（错反例：y1）x例3、判断下列函数是否存在反函数：（1）yx（无）欢迎共阅（2）yx24x5,x1,3（有）欢迎共阅欢迎共阅（3））y2x,x14,x1（无）欢迎共阅欢迎共阅例4、已知函数yf(x)（定义域为D，值域为A）有反函数yf1(x)，则方程f(x)0欢迎共阅有解xa，且f(x)x(xD)的

5、充要条件是yf1(x)满足f1(0)a且f1(x)x(xA)。欢迎共阅类型2：怎样求简单函数的反函数例5、求下列函数的反函数：欢迎共阅（1）yx23x(x1)（2）yx1(1x(0x0)x1)欢迎共阅欢迎共阅y（3）94x2x0,32f1(x)192x2(x欢迎共阅[3,0])欢迎共阅类型3：互为反函数的两个函数的图像的对称性的应用例6、解决下列有关反函数性质的相关问题：欢迎共阅（1）、若函数y1xa和ybx32互为反函数，则a2，b3。3欢迎共阅欢迎共阅（2）、函数y2x1的反函数的图象关于点（-2，-3）对称。x3欢迎共阅欢迎共阅（3）、已知函数

6、f(x)1x(1x0)1,求f(1)的值。（2）欢迎共阅x(0x1)33欢迎共阅（4）、函数xg(x)的图像与f(x)ax1的图像关于直线yx对称，若yg(x)的图像欢迎共阅过点(2,4)，则g(a1)的值为；答案：a3g(1)1欢迎共阅例7、函数y1ax(x441,xR)的图象关于yx对称，求a的值．欢迎共阅1axa欢迎共阅解：由y1ax(x1,xR)得x1y(y1)，欢迎共阅1axaf(x)(x∴11xa(y1)1)，欢迎共阅由题知：f(x)a(x1)f1(x)，1x1ax，∴a1欢迎共阅a(x1)1ax欢迎共阅例8、若(2,1)既在f(x)mxn

7、的图象上，又在它反函数图象上，求m,n的值．欢迎共阅解：∵(2,1)既在f(x)mxn的图象上，又在它反函数图象上，欢迎共阅∴f(1)2，∴f(2)1mn2mn2，∴m31n7欢迎共阅类型4：怎样求复合函数的反函数欢迎共阅例9、已知f(x1)x，求x1f1(x1)欢迎共阅【解】xf(x1)x1f(x)f1(x)1(x1)f1(x)1欢迎共阅x1x1xx欢迎共阅例10、设f(x)