2019年试题一轮优化探究理数 苏教版 选修4-5 第二节　不等式的证明.doc

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1、1．已知实数a、b、c、d满足a>b>c>d.求证：＋＋≥.证明：因为a>b>c>d、所以a－b>0、b－c>0、c－d>0、a－d>0.所以(＋＋)(a－d)＝(＋＋)[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3×3＝9.(或≥[·····]2＝9.)即＋＋≥.2．用数学归纳法证明不等式：＋＋＋…＋>1(n∈N*且n>1)．证明：(1)当n＝2时、＋＋＝>1成立；(2)设当n＝k(k≥2)时、＋＋＋…＋>1；则当n＝k＋1时、＋…＋＋＋…＋＝(＋＋…＋)＋＋…＋－>1＋－＝1＋＝1＋>1.即当n＝k＋1时也成立．所以对任意n>1(n∈N*)、原不等

2、式成立．3．已知n、k均为大于1的整数、求证：1＋＋＋…＋<2.证明：∵n>1、k>1、n、k均为整数、∴≤、∴1＋＋＋…＋≤1＋＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－<2.即1＋＋＋…＋<2(n、k∈N、n≥2、k≥2)．4．已知函数f(x)＝ax－－2lnx、f(1)＝0.若函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0、且an＋1＝f′()－nan＋1、若a1≥3、求证：an≥n＋2.证明：∵f(1)＝a－b＝0、∴a＝b、∴f′(x)＝a＋－、∵函数f(x)的图象在x＝1处的切线的斜率为0、∴f′(1)＝0、即a＋a－

3、2＝0、解得a＝1、∴f′(x)＝(－1)2、∴an＋1＝a－nan＋1.(1)当n＝1时、an≥3＝1＋2、不等式成立；(2)假设n＝k时、不等式成立、即ak≥k＋2、那么、ak－k≥2>0、∴ak＋1＝ak(ak－k)＋1≥2(k＋2)＋1＝(k＋3)＋k＋2>k＋3、也就是说、当n＝k＋1时、ak＋1≥(k＋1)＋2、根据(1)(2)知对于所有n≥1(n∈N)有an≥n＋2.