2019版一轮优化探究理数练习:选修4-5 第二节 不等式的证明 含解析

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1、1.已知实数a,b,c,d满足a>b>c>d.求证:++≥.证明:因为a>b>c>d,所以a-b>0,b-c>0,c-d>0,a-d>0.所以(++)(a-d)=(++)[(a-b)+(b-c)+(c-d)]≥3×3=9.(或≥[·····]2=9.)即++≥.2.用数学归纳法证明不等式:+++…+>1(n∈N*且n>1).证明:(1)当n=2时,++=>1成立;(2)设当n=k(k≥2)时,+++…+>1;则当n=k+1时,+…+++…+=(++…+)++…+->1+-=1+=1+>1.即当n=k+1时也成立.所以对任意

2、n>1(n∈N*),原不等式成立.3.已知n,k均为大于1的整数,求证:1+++…+<2.证明:∵n>1,k>1,n,k均为整数,∴≤,∴1+++…+≤1+++…+<1+++…+=1+(1-)+(-)+…+(-)=2-<2.即1+++…+<2(n,k∈N,n≥2,k≥2).4.已知函数f(x)=ax--2lnx,f(1)=0.若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且an+1=f′()-nan+1,若a1≥3,求证:an≥n+2.证明:∵f(1)=a-b=0,∴a=b,∴f′(x)=a+-,∵函数f(x)的图象在x

3、=1处的切线的斜率为0,∴f′(1)=0,即a+a-2=0,解得a=1,∴f′(x)=(-1)2,∴an+1=a-nan+1.(1)当n=1时,an≥3=1+2,不等式成立;(2)假设n=k时,不等式成立,即ak≥k+2,那么,ak-k≥2>0,∴ak+1=ak(ak-k)+1≥2(k+2)+1=(k+3)+k+2>k+3,也就是说,当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2,根据(1)(2)知对于所有n≥1(n∈N)有an≥n+2.

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