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《2019版数学人教A版选修4-5训练：1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式 Word版含解析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3.三个正数的算术-几何平均不等式基础巩固1已知a,b,c均为正数,且abc=27,则a+b+c的最小值为()A.3B.6C.9D.27解析：∵a,b,c均为正数,∴a+b+c≥当且仅当a=b=c=3时,等号成立).∴a+b+c的最小值为9.故选C.答案：C2函数f(x)的最小值为A.3B.4C.5D.6解析：∵x>0,∴f(x)当且仅当即x=1时,等号成立.故选A.答案：A3设x,y,z>0且x+y+z=6,则lgx+lgy+lgz的取值范围是()A.(-∞,lg6]B.(-∞,3lg2]C.[lg6,+∞)D.[3lg2,+∞)解析：∵lgx+l
2、gy+lgz=lg(xyz),而xyz≤x+lgy+lgz≤lg23=3lg2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.答案：B4函数y=x2(1-5x的最大值为A答案：A5若a>b>0,则a的最小值为-A.0B.1C.2D.3解析：∵a-当且仅当a=2,b=1---时,等号成立,∴a的最小值为3.-答案：D6若正数x,y满足xy2=4,则x+2y的最小值为.解析：∵xy2=4,x>0,y>0,∴x∴x+2y≥当且仅当即x=y时,等号成立,此时x+2y的最小值为答案：7函数y=4sin2xcosx的最大值为,最小值为.解析：∵y2=16sin2x·sin
3、2x·cos2x=8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤∴y2≤当且仅当sin2x=2cos2x,即tanx=时,等号成立.∴ymax答案：8设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,当其表面积最小时,底面边长为多少?解:设底面边长为x,高为h,则·h=V,所以h又S=2·表≥当且仅当x2即x时,等号成立.故所求底面边长为9设a,b,c>0,求证证明：因为a,b,c>0,由算术-几何平均不等式可得即当且仅当a=b=c时,等号成立).所以又因为当且仅当a2b2c2=3时,等号成立),所以当且仅当a=b=c时,等号成立).能力提升1已知圆柱的轴截面周长
4、为6,体积为V,则下列不等式正确的是()A.V≥πB.V≤πC.V≥解析：如图,设圆柱半径为R,高为h,则4R+2h=6,即2R+h=3.V=S·h=πR2·h=π·R·R·h≤当且仅当R=h=1时,等号成立.答案：B2若实数x,y满足xy>0,且x2y=2,则xy+x2的最小值是()A.1B.2C.3D.4解析：xy+x2当且仅当即x=1,y=2时,等号成立.答案：C3已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.解析：∵2x>0,4y>0,8z>0,∴2x+4y+8z=2x+22y+23z≥当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y
5、=1,z时,等号成立.答案：C★4已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,对于下列不等式:①abc≤≥27;③a2+b2+c2≥其中正确不等式的序号是解析：∵a,b,c∈(0,+∞),∴1=a+b+c≥≥27.故①正确,②也正确.∵1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)=3(a2+b2+c2),∴a2+b2+c2≥故③正确.∵2=2(a+b+c)2=(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)+4ab+4bc+4ca≥2ab+2bc+2ca+4ab+4b
6、c+4ca=6(ab+bc+ca),∴00),高为h,由右图可得2h则hV=S·h=6·h·(1-x)底-=9≤9-≤9当且仅当即x时,等号成立.所以当底面边长为时,正六棱柱容器的容积最大,为6已知a,b,c均为正数,证明：a2+b2+c2并确定为何值时等号成立证明：因为a,b,c均为正数,由算术-几何平均不等式,得a
7、2+b2+c2≥3(ab≥3(ab-≥9(ab-所以故a2+b2+c2≥3(ab-又3(ab-当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(ab-时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c时,原式等号成立.所以原不等式成立.★7设0<θ<π,求函数y=sin的最大值分析：求积的最大值,要通过恰当变形使各因式之和为定值,同时还要保证能够使等号成立,此题中含有三角函数,求解时切不可忽略其自身的范围限制.解:y=sinθ)=2siny取最大值当且仅当y2取最大值.y2=4sin·cos·cos·cos=2·2sin·cos·cos≤2·=2当且仅当2s
8、in时,等号成立,此时tan则故ymax
