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《高中数学人教A版选修4-5学案：第1讲1-3三个正数的算术几何平均不等式含解析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、3•三个正数的算术几何平均不等式〔I学习目标导航1・探索并了解三个正数的算术■几何平均不等式的证明过程.2.会用平均不等式求一些特定函数的最大（小）值.（重点）3・会建立函数不等式模型，利用其解决实际牛活中的最值问题.（难点）阶段1:认知预习质疑（知识梳理要点初探）［基础•初探］教材整理1三个正数的算术■几何平均不等式阅读教材P8~P9定理3,完成下列问题.1•如果q,b,那么a3+b3+c3^3abc9当且仅当a=b=c时,等号成立.2.定理3：如果a,b,cWR+,那么°；〔仝逅矗,当J1仅当a=
2、b=c13寸,等号成立.即三个正数的算术平均丕尘王它们的儿何平均.o微体验o已知a,b,c为正数，贝礦+£+了有（）A.最小值为3B.最大值为3C・最小值为2D.最大值为2【解析】舒许詩3普石
3、=3,当且仅当T=-=~,即a=b=c时，取等号.ca，【答案】A教材整理2基本不等式的推广阅读教材P9~P9"例5”以上部分，完成下列问题.对于"个正数⑦，02,…，知,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即—仝勺。⑷…如，当且仅当Q1=Q2=・・・=Q”时，等号成立.教材整理3利用基本不等式求最值阅读教材P
4、9〜P9“习题1.1”以上部分，完成下列问题.若a,b,c均为正数，①如果a+b+c是定值S,那么ci=b=c时,积abc有最大值;②如果积〃c是定值P,那么当a=b=c时，和a+b+c有最小值.o微体验o4设x>0,贝l"=x+二的最小值为（）【导学号：32750012］A.2B.2迈C.3迈D.3【解析】尸x+£=卄卄壬$3•寸痹=3'Y4当且仅当时取“=”号.【答案】D［质疑•手记］预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问］:解惑：疑问2:解惑：疑问3:解惑：阶段2合作探究通
5、关（分组讨论疑难细究）［小组合作型］证明简单的不等设ci,【精彩点拨】式的性质证明.【自主解答】根据不等式的结构特点，运用a+b+c#3勺abc,结合不等•/a>0,h>0,c>0,从而（a+b+c）229寺/於卫>0.ill3/~i-又^l+vi+^^32/22>0,abclabc••・&+*+*）（a+b+c）2当且仅当a=b=c时，等号成立.1.(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即G>0,b>0.(2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基木不等式的“题眼
6、”，不妨运用平均不等式试试看.2.连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致.［再练一题］1.设G,【证明】b,C为正数,因为a,b,32750013]所以有扌+*+知33/1113ahc又(Q+b+cf2(3^Zy=27血c>0,・•・&+*+占)(Q+b+c)空81‘卜例当且仅当a=b=c时，等号成立.用平均不等式求解实际问题类型2如图1・1・2所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯.大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮
7、的.由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角0的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r的平方成反比，即£=洋.这里k是一个和灯光强度有关的常数.那么究竞应该怎样选择灯的高度力，才能使桌子边缘处最亮?【精彩点拨】根据题设条件建立厂与&的关系式，将它代入£=呼，得到以〃为自变量，E为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值.【自主解答】2cos6"32(2sin20)-cosv/psiiF^+cos'O+cos'gtk1W眾3J=108,当且仅当2sin2^=cos2
8、0时取等号，即tai?O=*,tan&=¥时,等号成立.・・・〃=2tan〃=迈，即h=^2时，E最大.因此选择灯的高度为迈米时，才能使桌子边缘处最亮.名师•八2八1・本题的关键是在获得了£=加空讐卫后，对E的函数关系式进行变形求得E的最大值.2.解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解.［再练一题］2.制造容积为申立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制
9、作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】设圆柱形桶的底面半径为厂米，高为力米，则底面积为兀/平方米,侧面积为2jtrh平方米.设用料成本为y元，则尹=30兀r2+40tc/7?.•/桶的容积为号,/.itPh=号,・"=30兀,+学兀=10兀（3,+*+£210兀X3芾,°1当且仅当3r2=-时，即r=时等号成立，此时h=故要使用料成本最低,圆柱形桶的底面半径应为米,高为［探究共研型］利用平均不
