2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：17 导数与函数的零点问题 Word版含解析.pdf

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1、课时作业17导数与函数的零点问题1．已知f(x)＝ax2－(b＋1)xlnx－b，曲线y＝f(x)在点P(e，f(e))处的切线方程为2x＋y＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)研究函数f(x)在区间(0，e4]内的零点的个数．fe＝－2e，a＝1，解：(1)由题知得f′e＝－2，b＝e，∴f(x)＝x2－(e＋1)xlnx－e.e(2)x2－(e＋1)xlnx－e＝0x－(e＋1)lnx－＝0，x∈(0，e4]．xe设g(x)＝x－(e＋1)lnx－，x∈(0，e4]，xe＋

2、1ex－1x－e则g′(x)＝1－＋＝.xx2x2由g′(x)＝0得x＝1，x＝e，12当x∈(0,1)时，g′(x)>0，当x∈(1，e)时，g′(x)<0，当x∈(e，e4]时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减，在(e，e4]上单调递增．极大值g(1)＝1－e<0，极小值g(e)＝－2<0，g(e4)＝e4－4(e＋1)1－，e31∵4(e＋1)＋<4×4＋1＝17，e3e4>2.74>2.54>62＝36，∴g(e4)>0.综上，g(x)在(0，e4]

3、内有唯一零点，因此，f(x)在(0，e4]内有唯一零点．112．(2019·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx＋－，a∈Raxa且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性；1(2)当x∈[，e]时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个e数．ax－1解：(1)f′(x)＝(x>0)，ax2当a<0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；ax－11当a>0时，由f′(x)＝>0，得x>，ax2aax－11由f′(x)＝<0，得0

4、)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递减．aa综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；11当a>0时，函数f(x)在(，＋∞)上单调递增，在(0，)上单调递aa减．1(2)∵当x∈[，e]时，函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点，即当e1x∈[，e]时，方程(lnx－1)ex＋x＝m的根．e1令h(x)＝(lnx－1)ex＋x，h′(x)＝(＋lnx－1)ex＋1.x11由(1)知当a＝1时，f(x)＝lnx＋－1在(，1)上单调递减，在(1，xee)上单调递增，1∴当x

5、∈[，e]时，f(x)≥f(1)＝0.e11∴＋lnx－1≥0在x∈[，e]上恒成立．xe1∴h′(x)＝(＋lnx－1)ex＋1≥0＋1>0，x1∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x在x∈[，e]上单调递增．e11e1∴h(x)＝h()＝－2e＋，mineeh(x)＝e.max1e11∴当m<－2e＋或m>e时，函数g(x)在[，e]上没有零点；ee1e11当－2e＋≤m≤e时，函数g(x)在[，e]上有一个零点．ee23．(2019·辽宁五校联考)已知函数f(x)＝x2＋－alnx(a∈R)．x(1)若f

6、(x)在x＝2处取得极值，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a>0时，若f(x)有唯一的零点x，求[x]．00注：[x]表示不超过x的最大整数，如[0.6]＝0，[2.1]＝2，[－1.5]＝－2.参考数据：ln2＝0.693，ln3＝1.099，ln5＝1.609，ln7＝1.946.2解：(1)∵f(x)＝x2＋－alnx，x2x3－ax－2∴f′(x)＝(x>0)，x2由题意得f′(2)＝0，则2×23－2a－2＝0，a＝7，经验证，当a＝7时，f(x)在x＝2处取得极值，2

7、27∴f(x)＝x2＋－7lnx，f′(x)＝2x－－，xx2x∴f′(1)＝－7，f(1)＝3，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－3＝－7(x－1)，即7x＋y－10＝0.(2)令g(x)＝2x3－ax－2(x>0)，则g′(x)＝6x2－a，a由a>0，g′(x)＝0，可得x＝，6aa∴g(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．66a由于g(0)＝－2<0，故当x∈(0，)时，g(x)<0，6又g(1)＝－a<0，故g(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x，从1而可知

8、f(x)在(0，x)上单调递减，在(x，＋∞)上单调递增，11由于f(x)有唯一零点x，故x＝x，且x>1，01003则g(x)＝0，f(x)＝0，可得2lnx－－1＝0.000x3－103令h(x)＝2lnx－－1(x>1)，易知h(x)在(1，＋∞)上单调递增，x3－11010由于h(2)＝2ln2－<2×0.7－<0，7729h(3)＝2ln3－>0，故x∈(2,3)，[x]＝2.26004．(2019·南