2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(十八) 导数与函数的零点问题 Word版含解析.pdf

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1、课时跟踪检测(十八)导数与函数的零点问题1．设a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递减，在(－1,1)上单调递增．∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)方程f(x)＝

2、0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′＞0，解得x＞1或x＜－1；令y′＜0，解得－1＜x＜1.∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当x＝－1时，y＝2；当x＝1时，y＝－2.∴y＝x3－极大值极小值3x的大致图象如图所示．y＝a表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当a＝2或a＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个交点．故当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．2．(2019·锦州联考)已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈

3、R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．解：(1)由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a.∵函数f(x)在x＝0处取得极值，∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1.∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1.∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．易知f(x)在[－2,0)上单调递减，在1(0,1]上单调递增，且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)＞f(

4、1)，e21∴f(x)在[－2,1]上的最大值是＋3.e2(2)f′(x)＝ex＋a.①当a＞0时，f′(x)＞0，f(x)在R上单调递增，且当x＞1时，f(x)＝ex＋a(x－1)＞0；111当x＜0时，取x＝－a，则f－a＜1＋a－a－1＝－a＜0，∴函数f(x)存在零点，不满足题意．②当a＜0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln(－a)．当x∈(－∞，ln(－a))时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，∴当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，也是最小值．函数f(x)不存在

5、零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)＞0，解得－e2＜a＜0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－e2,0)．113．(2018·郑州第一次质量预测)已知函数f(x)＝lnx＋－(a∈R且a≠0)．axa(1)讨论函数f(x)的单调性；1(2)当x∈e，e时，试判断函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数．ax－1解：(1)f′(x)＝(x＞0)，ax2当a＜0时，f′(x)＞0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；ax－11当a＞0时，由f′(x)＝＞0，得x＞，ax2aax－11由f′

6、(x)＝＜0，得0＜x＜，ax2a11函数f(x)在a，＋∞上单调递增，在0，a上单调递减．综上所述，当a＜0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；11当a＞0时，函数f(x)在a，＋∞上单调递增，在0，a上单调递减．1(2)当x∈e，e时，函数g(x)＝(lnx－1)ex＋x－m的零点个数，等价于方程(lnx－1)ex＋x＝m的根的个数．令h(x)＝(lnx－1)ex＋x，1则h′(x)＝x＋lnx－1ex＋1.11由(1)知当a＝1时，f(x)＝lnx＋x－1在e，1上单调递减，在(1，e)上单调递增，

7、1∴当x∈e，e时，f(x)≥f(1)＝0.11∴x＋lnx－1≥0在x∈e，e上恒成立．1∴h′(x)＝x＋lnx－1ex＋1≥0＋1＞0，1∴h(x)＝(lnx－1)ex＋x在x∈e，e上单调递增，111∴h(x)＝h＝－2ee＋，h(x)＝h(e)＝e.mineemax111∴当m＜－2ee＋或m＞e时，函数g(x)在e，e上没有零点；e111当－2ee＋≤m≤e时，函数g(x)在e，e上有一个零点．e4．(2019·益阳、湘潭调研)已知函数f(x)＝lnx－ax2＋x，a∈R.(1)当a＝