2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(四十一) 直接证明与间接证明 Word版含解析.pdf

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1、课时跟踪检测(四十一)直接证明与间接证明1．分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac＜3a”索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：选Cb2－ac＜3a⇔b2－ac＜3a2⇔(a＋c)2－ac＜3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇔－2a2＋ac＋c2＜0⇔2a2－ac－c2＞0⇔(a－c)(2a＋c)＞0⇔(a－c)(a－b)＞0.2．用反证法证明命题“设f(x)＝x3＋3

2、x－a

3、(a∈R)为实数，

4、则方程f(x)＝0至少有一个实根”时，正确的假设是()A．方程f(x)没有实根B．方程f(x)＝0至多有一个实根C．方程f(x)＝0至多有两个实根D．方程f(x)＝0恰好有两个实根解析：选A由反证法证明命题的格式和步骤，可知应设方程f(x)＝0没有实根，故应选A.3．若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是()A．P＞QB．P＝QC．P＜QD．由a的取值确定解析：选A假设P＞Q，要证P＞Q，只需证P2＞Q2，只需证：2a＋13＋2a＋6a＋7＞2a＋13＋2a＋8a＋5，

5、只需证a2＋13a＋42＞a2＋13a＋40，即证42＞40，因为42＞40成立，所以P＞Q成立．1a＋b2ab4．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f(ab)，C＝f，则A，22a＋bB，C的大小关系是()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．B≤C≤AD．C≤B≤Aa＋b2ab1a＋b解析：选A因为≥ab≥，又f(x)＝x在R上是减函数，所以f2a＋b222ab≤f(ab)≤fa＋b.yyzzxx5．设x，y，z都为正实数，则三个数＋，＋，＋()xzxyzy

6、A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于2解析：选C假设三个数都小于2，yyzzxxyyzzxxyxzxyz则＋＋＋＋＋＜6，由于＋＋＋＋＋＝＋＋＋＋＋≥2＋2＋2＝xzxyzyxzxyzyxyxzzyyyzzxx6，所以假设不成立，所以＋，＋，＋中至少有一个不小于2.故选C.xzxyzy6．如果aa＋bb＞ab＋ba，则a，b应满足的条件是__________．解析：aa＋bb＞ab＋ba，即(a－b)2(a＋b)＞0，需满足a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥

7、0，b≥0且a≠b7．设a＝3＋22，b＝2＋7，则a，b的大小关系为________．解析：a＝3＋22，b＝2＋7，两式的两边分别平方，可得a2＝11＋46，b2＝11＋47，显然6＜7，所以a＜b.答案：a＜b118．已知a＞b＞0，则①＜；②ac2＞bc2；③a2＞b2；④a＞b，其中正确的序号是________．ab解析：当c＝0时，②不正确；由不等式的性质知①③④正确．答案：①③④1119．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：x－1y－1z－1＞8.证明：因为x，

8、y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，11－xy＋z2yz所以－1＝＝＞，①xxxx11－yx＋z2xz－1＝＝＞，②yyyy11－zx＋y2xy－1＝＝＞，③zzzz又x，y，z为正数，由①×②×③，111得x－1y－1z－1＞8.故原不等式得证．

9、a

10、＋

11、b

12、10．已知非零向量a，b，且a⊥b，求证：≤2.

13、a＋b

14、

15、a

16、＋

17、b

18、证明：a⊥ba·b＝0，要证≤2.

19、a＋b

20、只需证

21、a

22、＋

23、b

24、≤2

25、a＋b

26、，只需证

27、a

28、2＋2

29、a

30、

31、b

32、＋

33、b

34、2≤2(

35、a

36、2＋2a·b＋

37、b

38、2)，只

39、需证

40、a

41、2＋2

42、a

43、

44、b

45、＋

46、b

47、2≤2

48、a

49、2＋2

50、b

51、2，只需证

52、a

53、2＋

54、b

55、2－2

56、a

57、

58、b

59、≥0，即(

60、a

61、－

62、b

63、)2≥0，上式显然成立，故原不等式得证．11．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0，且0＜x＜c时，f(x)＞0.1(1)证明：是f(x)＝0的一个根；a1(2)试比较与c的大小；a(3)证明：－2＜b＜－1.解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，∴f(x)＝0有两个不等实根x，x，12∵f(c)＝0，∴x＝c是f(x)

64、＝0的根，1c11又x1x2＝a，∴x2＝aa≠c，1∴是f(x)＝0的一个根．a11(2)假设＜c，又＞0，aa由0＜x＜c时，f(x)＞0，11知f＞0与f＝0矛盾，aa111∴≥c，又∵≠c，∴＞c.aaa(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，∴b＝－1－ac.又a＞0，c＞0，∴b＜－1.