2020届高考数学课时跟踪练（四十一）直接证明与间接证明理（含解析）新人教A版

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1、课时跟踪练(四十一)A组　基础巩固1．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是(　　)A．lg(1＋a2)＞0　　　B．a2＋b2≥2(a－b－1)C．a2＋3ab＞2b2D.＜解析：在B中，因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立．答案：B2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)A．恒为负值　　　　B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负解析

2、：由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是(　　)A．a>bB．a＋>0(m>1)，所以<，即a

3、c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案：C5．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是(　　)A．②③B．①②③C．③D．③④⑤解析：若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①

4、推不出；若a＝b＝1，则a＋b＝2，但不满足a，b中至少有一个大于1，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，但a<1，b<1，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，则ab>1，但a<1，b<1，故⑤推不出．对于③，若a＋b>2，则“a，b中至少有一个大于1”成立．证明(反证法)：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2，与a＋b>2矛盾．因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.故选C.答案：C6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设为________．解析：“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x

5、≠1”．答案：x≠－1且x≠17．[一题多解]设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．解析：法一(取特殊值法)　取a＝2，b＝1，得m⇐a0，显然成立．答案：m

6、解]在△ABC中，设a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且直线bx＋ycosA＋cosB＝0与ax＋ycosB＋cosA＝0平行，求证：△ABC是直角三角形．证明：法一　由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由正弦定理可知sinBcosB－sinAcosA＝0，即sin2B－sin2A＝0，故2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.若A＝B，则a＝b，cosA＝cosB，两直线重合，不符合题意，故A＋B＝，即△ABC是直角三角形．法二　由两直线平行可知bcosB－acosA＝0，由余弦定理，得a·＝b·，所以a

7、2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a＝b或a2＋b2＝c2，若a＝b，则两直线重合，不符合题意，故a2＋b2＝c2，即△ABC是直角三角形．10．已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.证明：要证＋＝，即证＋＝3，也就是证＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，

8、由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．于是原等式成立．B组　素养提升11．已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(　　)A．A≤B≤CB．A≤