数学的现代基础与中学数学教学.pdf

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1、精品文档数学的现代基础与高中函数教学云南省腾冲县民族完全中学李春燕摘要：函数一直是各国中学教材中炙手可热的话题，函数内容贯穿整个中学数学，其重要性不言而喻。本文介绍了函数概念的发展历史，对比现代数学和中学数学对函数的定义，从更高层次理解函数的本质。本文对函数的课程内容进行了分析，并分析了函数教学的基本思路。关键词：函数；映射；函数教学：高观点：数学课程1函数概念的历史发展最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨。1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一

2、个常数结合而成的数量。”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示。欧拉、达朗贝尔、傅立叶等几代数学家对函数概念进一步刻画得到如下概念：“函数是指一个变量和一些常量，通过任何方式形成解析式。”这一概念任然是不完善的，他把函数这一广泛的概念和解析式相混，把一些其他方式给出的函数排除在外。1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用

3、公式表示了，由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线．”1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词。而这种对应关系并非一定要有解析式。他举出出名的“狄1，是有理数利克雷函数”f(x)来说明。0，x是无理数19世纪，70年代，德国数学家康托尔集合论的产生，建立了函数的几何

4、对应定义。即“给定两个集合A和B，如果按照某种确定的对应关系，对A中的每1欢迎下载。精品文档一个元素，在B中有唯一的元素与之对应，则这种对应关系称为A到B的函数。”20世纪60年代，人们给出了函数的关系定义。现设f是X与Y的关系，即f：X×Y，如果(x,y),(x,z)f必有y=z，那么称f为X到Y的函数．综上所述，对函数概念的解释通常有四种方法：其一，是把函数定义为具有那种特征的状态，而不是函数本身；其二，吧函数说成是法则或规律；其三，是把函数说成是对应；其四，是把函数说成是一种关系。十六世纪后，变量以及函数概念成

5、为数百年的研究中心，函数概念因此成为近、现代数学的基本概念。可以说函数是近、现代数学的基石。2.高观点下的高中函数中学数学的内容是常量数学和变量数学的初步认识，是中学数学的基础，也是很多高等数学的特例和原型。因此，从更高观点看中学数学，就要把现代数学的某些概念和理论和中学数学的特例和原型联系起来，这不仅有助于我们对现代数学的理解，而且还能准确把握中学数学的本质和关键。函数是贯穿中学数学的一条主线，它和很多内容相关，是学好中学数学的基础。下面我们结合初高中函数概念，并结合大学知识，对函数再认识。（1）笛卡尔集假设A和B都

6、是集合，A和B的笛卡尔积用AB来表示，是所有有序偶（a,b）的集合，其中aA,bB。AB(a,b)/aA,bB则AB所形成的集合就叫笛卡尔集。（2）映射设A、B是两个非空集合，若f:AB(f为A,B的笛卡尔集AB的子集)，且对任意的xA存在唯一的yB，使得(x,y)f，则称f是A到B的映射。换言之，f是一个映射，对任意xA，存在yB，使得(x,y)f；如果对于y,zB有(x,y)f和(x,z)f，则y=z。（3）函数由映射与函数的关系可知，特别地，当A、B是非空数集时，且对任意

7、2欢迎下载。精品文档xA，存在yB使得f(x)y此时，映射f:AB就是高中数学中函数的概念。回顾中学函数概念，中学用“对应”和“对应法则”来定义函数；而高等数学则是用“关系”与“笛卡尔集”来定义函数。映射的概念反应了事物运动变化的实质，函数内容贯穿于中学数学教学的始终，而映射是函数的基础，关系又是映射的基础，运用高等数学中的关系定义来重新认识中学数学的函数，了解函数的本质：就是量与量之间的相依规律的抽象。认清了函数的内部实质，有助于教师了解所教学科，遇到问题时可以用更高的观点、理解来解决问题。中学数学所涉及的函

8、数（映射）类型：数集到数集的函数，即数值是自变量的数值函数，这是中学数学主要的函数类型，所有的初等函数都是这一类型。数（有序数组）集到点集、点集到数（有序数组）集，如数轴上的点和实数对应，坐标轴上的点和有序实数对对应等。点集到点集的映射，如几何变换（平移、旋转等）。几何图形映到数集，如几何量（长度、面积、体积等）。函数集到函数集的