概率论与数理统计电子教案：MC7_3 区间估计.ppt

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1、04-八月-21§7.3区间估计由于样本的随机性，点估计有以下缺陷：(1)无从断定估计值是否为待估参数的真实值（即使是无偏有效估计量)；(2)不能把握估计值与参数真实值的偏离程度及估计的可靠程度.改进对于θ的估计，给定一个范围满足:04-八月-21一、定义定义7.3.1设总体的未知参数为θ,由样本X1，…，Xn确定两个统计量对于给定的实数α(0<α<1)，满足04-八月-21称随机区间为θ的置信度为1－α的区间估计（置信区间）.1－α又称置信水平或置信概率α称显著性水平，通常取值为0.1，0.05.思考：应如何理解概率式1）随机区间以1－α的概率包含着待估参数θ.04-八月-211

2、－α反映了区间估计的可靠程度.2）随机区间的长度是随机变量，反映了区间估计的精确程度.希望精度与可靠程度均高,但二者是矛盾的.在实际应用中广泛接受的原则是：确定能接受的可靠程度的前提下,尽量提高精确度.()()()θ04-八月-21正态分布总体μ的区间估计二、置信区间的枢轴变量法1.选取待估参数θ的估计量；原则：优良性准则常用：2.建立枢轴变量对选定的θ的估计量,构造关于待估参数θ和样本的函数问题：如何构造随机区间？怎样提高精确度？04-八月-21其中W不含任何其他未知参数.在一定条件下，W通常具有经典分布(主要有正态、2、T、F分布)；3.确定W的分布4.根据W的分布，对置信水

3、平1－α查上侧分位数,使或类似的概率式成立.W(X1,X2,…,Xn,θ)04-八月-215.改写不等式得上面过程的关键是构造枢轴变量W，并以它为轴心，由a≤W≤b旋转出所需不等式A≤θ≤B.其中A、B是不含未知参数的统计量.以较大概率包含待估参数04-八月-21三、正态总体的区间估计单个正态总体：X~N(,2)1.的估计已知=σ0:04-八月-21未知参数的替换思考：未知σ时如何求μ的估计？2)2未知:04-八月-212.2的估计当μ已知时,应选枢轴变量：分析:σ2的优良估计量为S2，当μ未知时,由抽样分布定理可知,应选枢轴变量：为确定枢轴变量04-八月-21问题：如

4、何构造大概率事件？04-八月-21已知004-八月-212)未知零件长度的方差婴儿体重的估计04-八月-211.1－2的估计四、两个正态总体X~N(1,12),Y~N(2,22)，X与Y相互独立.1)已知12和22枢轴变量取04-八月-212)12和22未知，但12=22=204-八月-2104-八月-21两稻种产量的期望差的置信区间问题能否用另外的方法求1－2的区间估计？分析当n1=n2时（成对抽样），04-八月-21Zi～N(1－2,2σ2)根据抽样定理知，可选枢轴变量～t(n－1)两稻种产量的期望差的置信区间04-八月-211)未知1、

5、22.的区间估计04-八月-212)已知1与2三、大样本方法构造置信区间(略)四、单侧置信区间(自学)，见教材P167页04-八月-21小结：常见的区间估计例1设X~N(μ,σ2)，σ2=σ02，求参数μ的置信度为1-α的置信区间。分析:要估计参数，就涉及随机变量；而选取随机变量应根据优良性质准则来选。考察随机变量所服从的分布.这里μ的优良估计是：它是无偏、有效、相合估计.这里将随机变量化为常用分布,再通过临界值确定区间.这里解：是μ的优良估计，且从而令从而，前式可化为：即由此可得，μ的置信度为1-α的置信区间为：从而#特别，当σ0=1，α=0.05，样本观测值为：5.15.

6、14.85.04.75.05.25.15.0uα/2=，α的置信区间为：1.96[4.35，5.65]04-八月-21是μ的优良估计，且思考：是否仍选统计量并令分析：1.求得置信区间？例7.3.2设X~N(μ,σ2)，未知σ2,求参数μ的置信度为1-α的置信区间.例2.未知参数的替换04-八月-21选S2不行！选一个统计量去替代σ2，因为未知σ2，故U不是统计量.S2、M2中选哪一个较好？因它是σ2的无偏、有效、相合估计.选下统计量作为枢轴变量，根据抽样定理04-八月-21由t分布的对称性，令整理后得μ的置信区间为比较已知σ2=σ02时,μ的置信区间为#04-八月-21零件长度的方

7、差12.1512.1212.0112.2812.0912.1612.0312.0112.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.06解设零件长度为X，可认为X服从正态分布.求方差的估计值和置信区间(α=0.05).例3从自动机床加工的同类零件中任取16件测得长度值如下(单位：mm)04-八月-21求方差的置信区间由于μ未知,S2是σ2的优良估计,选取枢轴变量相应的置信区间为04-八月-21查χ2分布表可得σ2的置信度为0.95的置信区间为