概率论与数理统计电子教案：C7_3区间估计（改）.ppt

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1、统计三大分布：X与Y独立,U与V独立,复习:4.3正态总体的抽样分布定理（P143）§7.3区间估计由于样本的随机性，点估计有以下缺陷：(1)无从断定估计值是否为待估参数的真实值（即使是无偏有效估计量)；(2)不能把握估计值与参数真实值的偏离程度及估计的可靠程度.改进对于θ的估计，给定一个范围满足:希望精度与可靠程度均高,但二者是矛盾的.在实际应用中广泛接受的原则是：确定能接受可靠程度的前提下,尽量提高精确度.一、定义定义7.3.1设总体的未知参数为θ,由样本X1，…，Xn确定两个统计量对于给定的实数α(0<α<1)，满足称随机区间为θ的置信度为1－α的区间估计（置信区间）.1－α又称置信水平

2、或置信概率α称显著性水平，通常取值为0.1，0.05.正态分布中μ的区间估计二、置信区间的枢轴变量法1.建立枢轴变量构造分布已知（正态、2、T、F分布）且仅含样本和未知参数的函数问题：如何构造随机区间？W(X1,X2,…,Xn,θ)2.构造等价区间：根据W的分布，对置信水平1－α查上侧分位数,使或类似的概率式成立.3.解得置信区间：改写不等式得上面过程的关键是构造枢轴变量W，并以它为轴心，由a≤W≤b旋转出所需不等式A≤θ≤B.其中A、B是不含未知参数的统计量.以较大概率包含待估参数三、正态总体的区间估计单个正态总体：X~N(,2)1.的估计已知=σ0:未知参数的替换思考：未知σ时如

3、何求μ的估计？2)2未知:2.2的估计当μ已知时,应选枢轴变量：分析:σ2的优良估计量为S2，当μ未知时,由抽样分布定理可知,应选枢轴变量：为确定枢轴变量问题：如何构造大概率事件？已知02)未知零件长度的方差婴儿体重的估计1.1－2的估计四、两个正态总体X~N(1,12),Y~N(2,22)，X与Y相互独立.1)已知12和22枢轴变量取2)12和22未知，但12=22=2两稻种产量的期望差的置信区间问题能否用另外的方法求1－2的区间估计？分析当n1=n2时（成对抽样），Zi～N(1－2,2σ2)根据抽样定理知，可选枢轴变量～t(n－1)两稻种产量的期望

4、差的置信区间1)未知1、22.的区间估计2)已知1与2三、大样本方法构造置信区间(略)四、单侧置信区间(自学)，见教材P167页小结：常见的区间估计例7.3.1设总体X~N(μ,0.09)，有一组样本值：12.6，13.4，12.8，13.2，求参数μ的置信度为0.95的置信区间.解：有1－α=0.95，σ0=0.3，n=4,是μ的无偏估计量,是优良估计量，且从而在标准正态分布表中查得上侧分位数uα/2=u0.025=1.96得μ的置信区间为代入样本值算得,得到μ的一个区间估计为[12.706，13.294].注：该区间不一定包含μ.总结此例，做了以下工作：1）根据优良性准则选取统计量

5、来估计参数；是μ的优良估计量：无偏、有效、相合.查找临界值uα/2，构造一个关于U的概率为置信水平1－α的随机事件.这里建立了关于μ与统计量的函数U，并确定U的分布；4）由上式解出关于待估参数μ的不等式，建立起关于μ的置信区间.#思考：是否仍选统计量并令求得置信区间？例7.3.2设X~N(μ,σ2)，未知σ2,求参数μ的置信度为1-α的置信区间.未知参数的替换不行因为未知μ,σ2，故U不是枢轴变量.选下统计量作为枢轴变量，根据抽样定理由t分布的对称性，令整理后得μ的置信区间为比较已知σ2=σ02时,μ的置信区间为#零件长度的方差12.1512.1212.0112.2812.0912.1612.

6、0312.0112.0612.1312.0712.1112.0812.0112.0312.06解设零件长度为X，可认为X服从正态分布.求方差的估计值和置信区间(α=0.05).例7.3.3从自动机床加工的同类零件中任取16件测得长度值如下(单位：mm)求方差的置信区间由于μ未知,S2是σ2的优良估计,选取枢轴变量相应的置信区间为查χ2分布表可得σ2的置信度为0.95的置信区间为比较：σ2的点估计值为s2=0.005.#例7.3.4假定初生婴儿的体重服从正态分布,随机抽取12名婴儿，测得体重为(单位：克)3100,2520,3000,3000,3600,3160,3560,3320,2880

7、,2600,3400,2540试以95%的置信度估计初生婴儿的平均体重以及方差.解设初生婴儿体重为X克，则X~N(,2),(1)需估计,而未知2.作为枢轴变量.有=，n=，t0.025(11)=，(2)需估计2,而未知，有20.025(11)=，20.975(11)=，#甲140137136140145148140135144141乙13511811514012813113011