导数应用例题.doc

《导数应用例题.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、导数应用举例导学案（一）知识说明1.如何利用导数判断函数的单调性y=f(x)在(a,b)上可导，若f′(x)＞0，则f(x)为增函数，若f′(x)＜0，则f(x)为减函数利用导数讨论函数的单调性需注意以下几个问题(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)注意在某一区间内f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．2.若函数f(x)在(

2、a，b)上单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)上单调递增的充要条件？函数f(x)在(a，b)上是增函数，则f′(x)≥0，f′(x)>0是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．例函数在上单调递增，求实数的取值范围。简析：则单调递增，但在一些孤立点处成立并不妨碍函数的单调性。如：有，但函数在R上单调递增。答案。函数的导数与其单调性之间的关系可以从以下三个方面理解：①在某个区间(a，b)上，若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上单调递增；若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上单调递减；若f′(x)＝

3、0恒成立，则f(x)在这个区间上为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．②若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，其逆命题不成立，因为f′(x)≥0包括f′(x)＞0或f′(x)＝0，当f′(x)＞0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，当f′(x)＝0时，f(x)在这个区间内为常数函数；同理，若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，其逆命题不成立．③使f′(x)＝0的离散的点不影响函数的单调性．f(x)在[a,b]上的最值求法（步骤）：①求出f(x)在(a,b)内的极值

4、；②将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.(1)设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个____极小值_____，记作__y极小值＝f(x0)__极大值与极小值统称为___极值(2)判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右

5、侧f′(x)<0，那么f(x0)是__极大值___②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是___极小值_________4.有人说极大值一定比极小值大，你认为呢？极值是一个局部性概念，一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值，在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值，即函数的极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系．5.求可导函数f(x)的极值的步骤：(1)求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右的符号

6、：如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．6.导数为零的点一定是极值点吗？对于可导函数来说，函数在某点x0的导数为0是函数在该点处取得极值的必要不充分条件，即y＝f(x)在x0处取得极值必有f′(x0)＝0，但反过来不成立，即导数为0的点不一定是极值点．例如f(x)＝x3，则f′(x)＝3x2，∴f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，事实上f(x)＝x3在R上单调递增。可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′

7、(x0)＝0，且在x0的左侧与右侧的f′(x)的符号不同．不可导的点也可能是极值点．7.你能利用函数f(x)在(a，b)内有极值的条件判断函数f(x)在(a，b)内的单调性吗？，若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调递增或递减的函数没有极值．8.函数的极值与最值有什么区别和联系函数的最值：函数f(x)在[a，b]上必有最值的条件：如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．极值与最值的区别和联系：(1)函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部范围对

8、函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．(2)函数的极值不