高考文科数学大二轮复习冲刺经典专题第二编讲专题专题一函数与导数第3讲导数的热点问题练习.pdf

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1、第3讲导数的热点问题「考情研析」利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数的零点、方程的根及不等式相结合，难度较大．解题时要注意分类讨论思想和转化与化归思想的应用.核心知识回顾1.利用导数解决与函数有关的方程根问题(1)利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程根的个数问题的一般思路：①将问题转化为函数□01零点的个数问题，进而转化为函数图象□02交点的个数问题；②利用导数研究该函数在给定区间上的□03单调性、□04极值(最值)、□05端点值等；③画出函数的□06大致图象；④结合图象□07

2、求解．(2)证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤：①在该区间上构造与方程□08相应的函数；②利用导数研究该函数在该区间上的□09单调性；③判断该函数在该区间端点处的□10函数值异号；④作出结论．2．利用导数证明不等式不等式的证明可转化为利用导数研究函数的□01单调性、□02极值和□03最值，再由□04单调性或最值来证明不等式，其中构造一个□05可导函数是用导数证明不等式的关键.热点考向探究考向1利用导数讨论方程根的个数2lnx例1(2019·河南五校联考高三阶段性测试)已知函数f(x)＝ax－，a∈R.x

3、(1)当a＝1时，求f(x)的图象在点P(e，f(e))处的切线方程；(2)设函数g(x)＝xf(x)－4，讨论函数g(x)的零点个数．2lnx解(1)当a＝1时，f(x)＝x－，x2－2lnx所以f′(x)＝1－，所以f′(e)＝1.x22又因为f(e)＝e－.e22所以函数f(x)的图象在点P(e，f(e))处的切线方程为y－e－＝x－e，即x－y－＝ee0.(2)由题意得g(x)＝xf(x)－4＝ax2－2lnx－4，定义域为(0，＋∞)，则g′(x)＝2ax－22ax2－1＝.xx①当a≤

4、0时，g′(x)<0对于任意的x>0恒成立，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，a－4令x＝e，则0a－2lnx－4＝0.0200000又g(1)＝a－4<0，a－4所以g(x)在(e，1)上有唯一零点．21②当a>0时，令g′(x)>0，得x>.a11所以g(x)在0，上单调递减，在，＋∞上单调递增，aa1故g(x)＝g＝2lna－3＝lna－3.minaa．若a>e3，g(x)>0，函数g(x)无零点；minb．若a＝e3，g(

5、x)＝0，函数g(x)有唯一零点；minc．若0－2lnx－4＝0.11112241令x＝2＋>22×＝>，2aaaa则g(x)＝ax2－2lnx－4>ax2－2x－4>ax2－4a－2x－4＝(x＋2)[a(x－2)－2]＝0.222222222112所以函数g(x)在e－2，，，2＋a上各有一个零点，从而函数g(x)有两个零点．aa综上可得，当a>e3时，函数g(x)没有零点；当a≤0

6、或a＝e3时，函数g(x)有唯一零点；当00时，求函数f(x)在区间(1，e2)内的零点个数．2a－x2解(1)∵f(x)＝2alnx－x

7、2，∴f′(x)＝，x2a－x2∵x>0，当a≤0时，f′(x)＝<0，x2a－x2－2x－ax＋a当a>0时，f′(x)＝＝，xx当00；当x>a时，f′(x)<0，∴当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．(2)由(1)，得f(x)＝f(a)＝a(lna－1)，max当a(lna－1)<0，即0

8、唯一零点a，又10，即a>e时，由于f(1)＝－1<0，f(a)＝a(lna－1)>0，f(e2)＝2alne2－e4＝4a－e4＝(2a－e2)(2a＋e2)，e4若2a－e2<0，即e