求空间曲面的面积.pdf

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1、曲面的面积一、问题的引入二、曲面的面积例1设一底面为矩形的柱体被一平面所截,如果截d面的法向量为e=(cosα,cosβ,cosγ),底面位于xOyn面,证明截面(平行四边形)的面积A与底面的面积σz1有如下关系:A=σ.QcosγP解如图,截面MPQR的方程为cosα(x−x)+cosβ(y−y)RO00Ny+cosγ(z−)0=0LM(x,y)0,x00P点的x,y坐标为x=,0y=y,0cosα代入平面方程可得z坐标z=x0cosγzR点的x,y坐标为x=x,y=,0Q0cosβP代入可得z坐标z=y.0cosγROc

2、osαcosβNyP,0(y0,x0),R(x0,0,y0).LcosγcosγM(x,y)0,x00ggggdcosαcosαMP=−{x,0,x}=x{1,0,−},000cosγcosγggggdcosβcosβMR=−{0,y,y}=y{0,1,−}.000cosγcosγ1截面面积A=MP×MR=σ.cosγz二、曲面的面积P(x,y,z(x,y))ΔTiiii空间有界曲面S:z=z(x,y).iΔAi(x,y)∈D,z(x,y)∈C)1((D).ST分析典型矩形小区域Δσ.iOyM↔PM(xi,yi)T:S在点P

3、处的切平面.ΔσiDxΔσ↔ΔTiiΔσi↔ΔAiΔAi≈ΔTiA=∑ΔAi≈∑ΔTi.iiA=∑ΔAi≈∑ΔTi.iid设S在点P处的法向量en=(cosα,cosβ,cosγ)1ΔT=Δσ.iicosγdn=(z(x,y),z(x,y),−)1xiiyii1cosγ=221+z(x,y)+z(x,y)xiiyii22A≈∑1+zx(xi,yi)+zy(xi,yi)Δσi.i22A≈∑1+zx(xi,yi)+zy(xi,yi)Δσi.i令λ=max{diaΔσ}→0i空间曲面S:z=z(x,y),(x,y)∈D的面积为22

4、A=1+z(x,y)+z(x,yd)σ.∫∫xyD曲面面积元素221dA=1+z(x,y)+z(x,yd)σ=dσxycosγ)1(如果曲面S:x=x(y,z).(y,z)∈D,x(y,z)∈C(D).221面积元素dA=1+x(y,z)+x(y,zd)σ=dσyzcosα22则曲面面积A=1+x(y,z)+x(y,zd)σ.∫∫yzD)1(如果曲面S:y=y(z,x).(z,x)∈D,y(z,x)∈C(D).221面积元素dA=1+y(z,x)+y(z,xd)σ=dσzxcosβ22则曲面面积A=1+y(z,x)+y(z,

5、xd)σ.∫∫zxD222222例2求球面x+y+z=a含在圆柱体x+y=ax内部的那部分的面积.解A=4A1,(x,y≥0).22D:x+y≤ax,x≥,0y≥.01222曲面方程z=a−x−y.22dA=1+z+zdxdyxya=dxdy222a−x−y22面积A=41+z+zdxdy∫∫xyD1a=4∫∫222dxdya−x−yD12=2(π−4)a.例3求半径为a的球的表面积.222解取上半球面方程为z=a−x−y,则它在xOy面上的投影区域222D={(x,y

6、)x+y≤a}.∂z−x∂z−y由=222,=222,

7、∂xa−x−y∂ya−x−y22⎛∂z⎞⎛∂z⎞a得1+⎜⎟+⎜⎟=.222⎝∂x⎠⎝∂y⎠a−x−y因为这函数在闭区域D上无界,不能直接应用曲面积分公式.222先取D={(x,y

8、)x+y≤b}(0

9、a.2因此整个球面的面积为A=4πa.