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1、2020年高考理科数学一轮复习题型归纳与变式演练《椭圆及其性质》【题型一】：求椭圆的标准方程【题型二】：圆锥曲线的焦点三角形【题型三】：椭圆中的几何性质【题型四】：轨迹方程【题型一】：求椭圆的标准方程【例1】.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；（2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点。【思路点拨】结合椭圆的标准方程，用待定系数法。【解析】（1）∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为。∵2a=10，2c=8
2、，∴a=5，c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求椭圆的标准方程为；（2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为由椭圆的定义知，，∴又c=2，∴b2=a2－c2=10－4=6∴所求椭圆的标准方程为。【总结升华】求椭圆的标准方程就是求a2及b2（a＞b＞0），并且判断焦点所在的坐标轴。当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为。【变式训练】【变式1】如果方程表示焦点在Y轴上的椭圆，求实数的取值范围。【解析】把整理为标准方程：因为焦点在Y轴上，所以解得【变式2】求经过点P（－3，
3、0）、Q（0，2）的椭圆的标准方程。【解析】设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n）。∵椭圆经过点P（－3，0）和Q（0，2），∴∴∴所求椭圆方程为。【题型二】：圆锥曲线的焦点三角形【例2】．已知、是椭圆（）的两焦点，P是椭圆上一点，且，求的面积.【思路点拨】如图求的面积应利用，即.关键是求.由椭圆第一定义有,由余弦定理有，易求之.【解析】设,,依题意有(1)2-(2)得，即.∴.【变式训练】【变式1】已知椭圆的焦点是,直线是椭圆的一条准线.①求椭圆的方程；②设点P在椭圆上,且,求.【答案】
4、①.②设则，又.【题型三】：椭圆中的几何性质【例3.】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围。【解析】△F1PF2中，已知，
5、F1F2
6、=2c，
7、PF1
8、+
9、PF2
10、=2a，由余弦定理：4c2=
11、PF1
12、2+
13、PF2
14、2-2
15、PF1
16、
17、PF2
18、cos120°①又
19、PF1
20、+
21、PF2
22、=2a②联立①②得4c2=4a2-
23、PF1
24、
25、PF2
26、，∴【升华总结】求离心率或离心率的范围，通常构造关于，，的齐次式，从而构造出关于的方程或不等式.【变式训练】【变式1】已知椭圆（）与x轴正半轴
27、交于A点，与y轴正半轴交于B点，F点是左焦点，且，求椭圆的离心率.法一：,,∵,∴,又,，代入上式，得，利用代入，消得,即由，解得,∵,∴.法二：在ΔABF中，∵，，∴，即下略）例4．已知、为椭圆的两个焦点，为此椭圆上一点，且.求此椭圆离心率的取值范围；【解析】如图，令,,,则在中，由正弦定理，∴，令此椭圆方程为(),则,,∴即（），∴,∴,∵,且为三角形内角，∴，∴,∴,∴.即此椭圆离心率的取值范围为.【变式训练】【变式1】已知椭圆，F1，F2是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使，求其离心率的取值范围.【答案】△
28、F1PF2中，已知，
29、F1F2
30、=2c，
31、PF1
32、+
33、PF2
34、=2a，由余弦定理：4c2=
35、PF1
36、2+
37、PF2
38、2-2
39、PF1
40、
41、PF2
42、cos120°①又
43、PF1
44、+
45、PF2
46、=2a②联立①②得4c2=4a2-
47、PF1
48、
49、PF2
50、，∴【变式2】椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】由得，即，解得，故离心率.所以选D.【题型四】：轨迹方程【例5.】如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB=30°，则点P的轨
51、迹是（ ）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支【答案】C【解析】：用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面和圆锥的一条母线平行时，得到抛物线．此题中平面α上的动点P满足∠PAB=30°，可理解为P在以AB为轴的圆锥的侧面上，再由斜线段AB与平面α所成的角为60°，可知P的轨迹符合圆锥曲线中椭圆定义．故可知动点P的轨迹是椭圆．故选C．
