MatLab的Galton钉板问题训练报告.doc

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1、Matlab工程实训报告题目Galton钉板模型学院名称信息科学与工程学院专业班级姓名学号日期2013-7-4一、问题描述Galton钉板模型Galton钉板模型是由英国生物统计学家Galton设计的。其原理是：在一块板上钉有n排钉子，设n=5，在钉子的下方有6个格子，分别编号为0、1、2、3、4、5，自上方扔进小球任其自由下落，在下落过程中让小球碰到钉子时，从左边落下和从右边落下的机会相等。碰到下一排钉子时又是如此。最后落入底板中的某一格子。二、训练目的·熟悉随机函数的使用·了解基本动画的设计三、

2、训练内容编程实现该模型的动画，输入扔球次数m。提示：注意确定钉子的位置，将钉子的横、纵坐标保存在两个矩阵中，确定小球碰到钉子的可能性，小球碰到钉子后往左或往右各占50%，可设定当生成的随机数<0.5往左，否则往右。训练要求：l计算落入第i个格子中的球数及概率l模拟小球堆积的情况l编制实训报告。四、设计思路【Step1】：动画模拟Galton钉板试验1)确定钉子的位置。将钉子的横、纵坐标存储在一个矩阵中；2)模拟了小球从顶端随机地落入某一格子的过程。设向右的概率为p，向左的概率为q=1-p；将[0,1

3、]分成两段，区间[0,p]和(p,1]。利用rand[]产生一个介于0和1之间的随机数u，如果随机数，让小球落向左边，否则落向右边；将这一过程重复n次，并用直线连接小球落下时所经过的点。3)模拟小球堆积的形状。输入扔球次数m，计算落在第i个格子的小球数在总球数m中所占的比例，这样当模拟结束时，就得到了频率，用频率反映小球堆积的形状。4)利用movie完成动画。5）程序代码：clear;clc;clf;m=input('请输入小球的个数:');n=5;y0=2;ballnum=zeros(1,n+1)

4、;%生成1*（n+1）全零阵p=input('请输入概率P的值（0.5最佳）:');%设置向左的概率q=1-p;fori=n+1:-1:1%创建钉子的坐标x(i,1)=0.5*(n-i+1);y(i,1)=(n-i+1)+y0;forj=2:ix(i,j)=x(i,1)+(j-1)*1;y(i,j)=y(i,1);endendmm=moviein(m);%开始模拟小球下落fori=1:ms=rand(1,n);%产生n个随机数xi=x(1,1);yi=y(1,1);k=1;l=1;%小球碰到第一个钉

5、子forj=1:nplot(x(1:n,:),y(1:n,:),'o',x(n+1,:),y(n+1,:),'.-'),%plot是绘制二维图形的最基本函数，它是针对向量或矩阵的列来绘制曲线的%画钉子的位置axis([-2n+20y0+n+1]),holdon%创建坐标系图形对象k=k+1;%小球下落一格ifs(j)>pl=l+0;%碰到小球左移的情况elsel=l+1;%碰到小球右移的情况endxt=x(k,l);yt=y(k,l);%记录小球下落的坐标h=plot([xi,xt],[yi,yt]

6、);axis([-2n+20y0+n+1])%画运动轨迹xi=xt;yi=yt;endballnum(l)=ballnum(l)+1;%计算小球个数ballnum1=3*ballnum./m;bar([0:n],ballnum1),axis([-2n+20y0+n+1])%画各格子的频率mm(i)=getframe;%存储动画数据holdoffendmovie(mm,1)%播放动画一次模拟如图：该图分别为模拟100个小球和200个小球的情况，小球在碰到钉子后向左向右的概率均为0.5.可以看出，小球落

7、入2、3号格子的机率最大，类似成一个正态分布。【Step2】：用二项分布描述Galton钉板模型1）小球自上方落下，经过n个钉子。每经过一个钉子时只有两种可能结果：向左或向右，这是一个具有两个结果（成功和失败）的随机试验E，将向右视为成功，其概率为p，向左视为失败，其概率为1-p。小球碰到一个钉子下落一格，相当于进行了一次试验E，自顶端落下，碰到n个钉子，最终落到某个格子的过程，恰好相当于将试验E重复了n次，因此一次投球过程就是一个n重贝努利试验。n重贝努利试验的成功次数X正好就是小球向右移动的次数

8、，是一个随机变量，根据概率论的结果，它服从二项分布，即X～B(n,p),其取值与模拟模型的对应关系为：表22-2格子编号与随机变量取值对应表小球落入的格子编号012...n-1n随机变量X的取值012…n-1n利用概率论知识，二项随机变量X的分布列为：上述动画模拟中：p=0.5。有了上面的理论分析之后，我们可以比较n次投球小球堆积的频率图和X～B(n,p)的分布图之间的差异。2）程序代码：clear;clf;clc;p=input('请输入p的值（0.5最佳）:');