圆的方程综合练习与测试有答案.doc

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1、第3讲　圆的方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、填空题1．已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程为________．解析　AB的中点坐标为(0,0)，AB＝＝2，∴圆的方程为x2＋y2＝2.答案　x2＋y2＝22．(2017·扬州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为________．解析　已知圆的圆心C(1,2)关于直线y＝x对称的点为C′(2,1)，∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案　(x－2)2

2、＋(y－1)2＝13．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是________．解析　方程为2＋(y＋a)2＝1－a－表示圆，则1－a－＞0，解得－2＜a＜.答案　4．(2015·全国Ⅱ卷改编)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．解析　由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①由点A(1,0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为y－＝，②联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，其到原点的距离为＝.答案　5．若圆C经过坐标原点和点(4,0

3、)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________．解析　设圆心C坐标为(2，b)(b<0)，则

4、b

5、＋1＝.解得b＝－，半径r＝

6、b

7、＋1＝，故圆C的方程为：(x－2)2＋2＝.答案　(x－2)2＋2＝6．(2017·无锡期末)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________．解析　设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则解得因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝17．已知圆C：x2＋y2＋k

8、x＋2y＝－k2，当圆C的面积取最大值时，圆心C的坐标为________．解析　圆C的方程可化为2＋(y＋1)2＝－k2＋1.所以，当k＝0时圆C的面积最大．答案　(0，－1)8．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2,1)，∵kCM＝＝1，∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.答案　x＋y－1＝0二、解答题9．已知三条直线l1：x－2y＝0，l2：y＋1＝0，l3：2x＋y－1＝0两两相

9、交，先画出图形，再求过这三个交点的圆的方程．解　l2平行于x轴，l1与l3互相垂直．三交点A，B，C连线构成直角三角形，经过A，B，C三点的圆就是以AB为直径的圆．解方程组得所以点A的坐标是(－2，－1)．解方程组得所以点B的坐标是(1，－1)．线段AB的中点坐标是，又AB＝＝3.故所求圆的标准方程是2＋(y＋1)2＝.10．在△ABC中，已知BC＝2，且＝m(m>0)，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．解　如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系．则有B(－1,0)，C(1,0)，设点A的坐标为(x，y)．由＝m，得＝m.整理得(m2－1

10、)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①当m2＝1时，m＝1，方程是x＝0，轨迹是y轴．当m2≠1时，对①式配方，得2＋y2＝.所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点)．能力提升题组(建议用时：20分钟)11．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．解析　由题意知圆心C(2,1)在直线ax＋2by－2＝0上，∴2a＋2b－2＝0，整理得a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即b＝2－，a＝－1时，等号成立．∴＋的

11、最小值为3＋2.答案　3＋212．已知圆心(a，b)(a＜0，b＜0)在直线y＝2x＋1上的圆，其圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径，在y轴上截得的弦长为2，则圆的方程为________．解析　由圆心到x轴的距离恰好等于圆的半径知，所求圆与x轴相切，由题意得圆的半径为

12、b

13、，则圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝b2.由圆心在直线y＝2x＋1上，得b＝2a＋1，①由此圆在y轴上截得的弦长为2，得b2－a2＝5，②由①②得或(舍去)．所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y＋3)2＝9.答案　(x＋2)2＋(y＋3)2＝913．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1