初一]竞赛专题选讲之――用交集解题.doc

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1、初中数学竞赛专题选讲用交集解题一、内容提要1.某种对象的全体组成一个集合。组成集合的各个对象叫这个集合的元素。例如6的正约数集合记作{6的正约数}={1,2,3,6},它有4个元素1,2,3,6;除以3余1的正整数集合是个无限集,记作{除以3余1的正整数}={1,4,7,10……},它的个元素有无数多个。2.由两个集合的所有公共元素组成的一个集合,叫做这两个集合的交集例如6的正约数集合A={1,2,3,6},10的正约数集合B={1,2,5,10},6与10的公约数集合C={1,2},集合C是集合A和集合B的交集。3.几个集合的交集可用图形形象地表示,右图中左边的椭圆表示

2、正数集合,右边的椭圆表示整数集合,中间两个椭圆的公共部分,是它们的交集――正整数集。不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。例如不等式组解的集合就是不等式(1)的解集x>3和不等式(2)的解集x>2的交集,x>3.如数轴所示:                         0       2    34.一类问题,它的答案要同时符合几个条件,一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的解(即解的集合)分别求出来,它们的公共部分(即交集)就是所求的答案。 有时可以先求出其中的一个(一般是元素最多)的解集,再按其他条件逐一筛选、剔除,求得答案。(如例2)二、例题例1.

3、一个自然数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个自然数的最小值。解:除以3余2的自然数集合A={2,5,8,11,14,17,20,23,26,……}  除以5余3的自然数集B={3,8,13,18,23,28,……}  除以7余2自然数集合C={2,9,16,23,30,……}集合A、B、C的公共元素的最小值23就是所求的自然数。例2.有两个二位的质数,它们的差等于6,并且平方数的个位数字相同,求这两个数。解: 二位的质数共21个,它们的个位数字只有1,3,7,9,即符合条件的质数它们的个位数的集合是{1,3,7,9};其中差等于6的有:1和7;3和9;13和7,三

4、组;平方数的个位数字相同的只有3和7;1和9二组。同时符合三个条件的个位数字是3和7这一组故所求质数是:23,17; 43,37; 53,47; 73,67共四组。例2.数学兴趣小组中订阅A种刊物的有28人,订阅B种刊物的有21人,其中6人两种都订,只有一人两种都没有订,问只订A种、只订B种的各几人?数学兴趣小组共有几人?解:如图左、右两椭圆分别表示订阅A种、B种刊物的人数集合,则两圆重叠部分就是它们的交集(A、B两种都订的人数集合)。∴只订A种刊物的人数是28-6=22人;只订B刊物的人数是21-6=15人;小组总人数是22+15+6+1=44人。设N,N(A),N(B

5、),N(AB),分别表示总人数,订A种、B种、AB两种、都不订的人数,则得[公式一]N=+N(A)+N(B)-N(AB)。例3.在40名同学中调查,会玩乒乓球的有24人,篮球有18人,排球有10人,同时会玩乒乓球和篮球的有6人,同时会玩乒乓球和排球的有4人,三种球都会的只有1人,问:有多少人①只会打乒乓球 ②同时会打篮球和排球 ③只会打排球?解:仿公式一,得[公式二]:N=+N(A)+N(B)+N(C)-N(AB)-N(AC)-N(BC)+N(ABC)①只会打乒乓球的是24-6-4+1=15(人)②求N(BC)可用公式二:∵40=24+18+10-6-4-N(BC)+1∴

6、N(BC)=3, 即同时会打篮球和排球的是3人③只会打排球的是10-3-1=6(人)例5.十进制中,六位数能被33整除,求x和y的值解:∵0≤x,y≤9,∴0≤x+y≤18,-9≤x-y≤9,x+y>x-y∵33=3×11,∴1+9+x+y+8+7的和是3的倍数,故x+y=2,5,8,11,14,17(1+x+8)-(9+y+7)是11的倍数, 故x-y=-4,7∵x+y和x-y是同奇数或同偶数,∴它们的交集是下列四个方程组的解: 解得(x=12不合题意舍去)答:x=2,y=6或x=5,y=9或x=9,y=2三、练习1.负数集合与分数集合的交集是______2.等腰直角三

7、角形集合是___三角形集合与___三角形集合的交集。3.12的正约数集合A={    },30的正约数集合B={   }12和30的公约数集合C={   },集合C是集合A和集合B的__4.解下列不等式组并把解集(不是空集)表示在数轴上:①  ②③    ④5.某数除以3余1,除以5余1,除以7余2,求某数的最小值。6.九张纸各写着1到9中的一个自然数(不重复),甲拿的两张数字和是10,乙拿的两张数字差是1,丙拿的两张数字积是24,丁拿的两张数字商是3,问剩下的一张是多少?7.求符合如下三条件的两位数:①能被3整除②它的平方、

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