例析赋值放缩法证明与函数有关的数列不等式.pdf

《例析赋值放缩法证明与函数有关的数列不等式.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、中学数学杂志２０１４年第３期ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ例析赋值放缩法证明与函数有关的数列不等式广东佛山市顺德区容桂职业技术学校５２８３０３陈华安２ｎ－１与函数有关的数列不等式的证明问题之所以成为æ２öéæ２öùｋç÷êê１－ç÷úúｎ近年各地高考命题的一个热点，是因为它不仅处于函１æ２ö１１è３øëè３øû１∑ç÷＝－＋·＝－数、数列与不等式的交汇点，而且其证明的方法和解题４ｋ＝２è３ø３４２３１－３思路独特，灵活性强，综合性高，能全面地考查学生的ｎ－１数学能力和思维水平．赋值放缩法是解决这类问题的·æç２ö÷＜０，所以存在唯一的ｘ∈éêê２，１ùúú，满

2、足ｎè３øë３û利器，下面举例说明，供参考．ｆ（ｘ）＝０．ｎｎ１先求和再放缩，证明不等式ｎ＋１ｘ若通项公式的前ｎ项和求出或公式变式后可以求（Ⅱ）当ｘ＞０时，ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＋＞ｎ＋１ｎ２（ｎ＋１）和的，则先求和后放缩．ｆ（ｘ），故ｆ（ｘ）＞ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＝０．由ｆ（ｘ）在例１函数ｆ（ｘ）对任意实数ｐ、ｑ都满足ｆ（ｐ＋ｑ）＝ｎｎ＋１ｎｎｎｎ＋１ｎ＋１ｎ＋１（０，＋∞）内单调递增知ｘ＜ｘ，故数列｛ｘ｝为单调１ｎ＋１ｎｎｆ（ｐ）ｆ（ｑ）且ｆ（１）＝．递减数列，从而对任意ｎ，ｐ∈Ｎ＋，ｘ＜ｘ，对任意ｎ∈３ｎ＋ｐｎ２３ｎｘｘｘ①当ｎ∈Ｎ＋时，求ｆ（ｎ）的表达式；②设ａ＝ｎ

3、ｎｎｎＮ＋，由于ｆ（ｘ）＝－１＋ｘ＋＋＋…＋＝０，…①ｎｎｎ２２２３２３ｎｎｆ（ｎ）（ｎ＞１），Ｔｎ是其前ｎ项和，证明Ｔｎ＜．ｘ２ｘ３ｘｎ４ｎ＋ｐｎ＋ｐｎ＋ｐｆ（ｘ）＝－１＋ｘ＋＋＋…＋＋ｎｎ＋ｐｎ＋ｐｎ＋ｐ２２２æ１ö２３ｎ解①用赋值法求得ｆ（ｎ）＝ç÷．②由条件得ｎ＋１ｎ＋ｐè３øｘｘｎ＋ｐｎ＋ｐ１１２１３１ｎ２＋…＋２＝０，…②．①式减去②式并æöæöæöæö（ｎ＋１）（ｎ＋ｐ）Ｔ＝１·ç÷＋２·ç÷＋３·ç÷＋…＋ｎ·ç÷．ｎè３øè３øè３øè３øｎ３３＋２ｎ１ｎ３移项整理，利用０＜ｘｎ＋ｐ＜ｘｎ≤１，得ｘｎ－ｘｎ＋ｐ＝∑æöｋ＝２用错位相减法求得Ｔ＝－ç÷

4、，则Ｔ＝－ｎ４４è３øｎ４ｋ－ｘｋｎ＋ｐｋｎ＋ｐｋｎ＋ｐｘｎ＋ｐｎｘｎ＋ｐｘｎ＋ｐ１ｎ＋∑≤∑≤∑＜３＋２ｎæ１ö３ｋ２ｋ２ｋ２ｋ２ｋ＝ｎ＋１ｋ＝ｎ＋１ｋ＝ｎ＋１ç÷＜成立．４è３ø４ｎ＋ｐ１１１１２利用函数的单调性放缩后求和，证明不等式∑＝－＜，因此，对任意ｐ∈Ｎ＋，ｋ＝ｎ＋１ｋ（ｋ－１）ｎｎ＋ｐｎ例２（２０１３年安徽理科２０题）设函数ｆ（ｘ）＝－１ｎ１数列｛ｘ｝满足０＜ｘ－ｘ＜．２３ｎｎｎｎ＋ｐｘｘｘｎ＋ｘ＋＋＋…＋（ｘ∈Ｒ，ｎ∈Ｎ＋），证明：（Ⅰ）２２２２３ｎ例３（２０１０年湖北卷理科数学第２１题（压轴é２ùｂ对每个ｎ∈Ｎ＋，存在唯一的ｘｎ∈êê，１úú，满足ｆ

5、ｎ（ｘｎ）题））已知函数ｆ（ｘ）＝ａｘ＋＋ｃ（ａ＞０）的图像在点ë３ûｘ＝０；（Ⅱ）对任意ｐ∈Ｎ＋，由（Ⅰ）中ｘｎ构成的数列｛ｘｎ｝（１，ｆ（１））处的切线方程为ｙ＝ｘ－１．１（１）用ａ表示ｂ，ｃ；满足０＜ｘ－ｘ＜．ｎｎ＋ｐｎ（２）若ｆ（ｘ）≥ｌｎｘ在[１，＋∞)上恒成立，求ａ的证明（Ⅰ）对每个ｎ∈Ｎ＋，当ｘ＞０时，ｆｎ′（ｘ）＝取值范围；ｎ－１ｘｘ１１１１＋＋…＋＞０，故ｆｎ（ｘ）在（０，＋∞）内单调递（３）证明：１＋＋＋…＋＞ｌｎ（ｎ＋１）＋２ｎ２３ｎ１１１ｎ增．由于ｆｎ（１）＝２＋２＋…＋２＞０，故ｆｎ（１）≥０．（ｎ≥１）．２３ｎ２（ｎ＋１）ｋæ２ö解（１）ｂ

6、＝ａ－１，ｃ＝１－２ａ．ç÷ｎæ２ö２è３ø１ａ－１ｆｎç÷＝－１＋＋∑２≤－＋（２）由（１）知，ｆ（ｘ）＝ａｘ＋＋１－２ａ，令ｇ（ｘ）è３ø３ｋ＝２ｋ３ｘ４３ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ中学数学杂志２０１４年第３期ａ－１（Ⅰ）求ｒ的值；（Ⅱ）当ｂ＝２时，记ｂ＝ｎ＝ｆ（ｘ）－ｌｎｘ＝ａｘ＋＋１－２ａ－ｌｎｘ，ｘ∈[１，＋∞)，ｘ２(ｌｏｇ２ａｎ＋１)（ｎ∈Ｎ＋），证明：对任意的ｎ∈Ｎ＋，不等则ｇ（１）＝０，ｂ＋１ｂ＋１ｂ＋１１２ｎ２式·…＞ｎ＋１成立．ａ－１１ａｘ－ｘ－（ａ－１）ｂｂｂ－＝＝１２ｎｇ′（ｘ）＝ａ－２２ｘｘｘ解（Ⅰ）因为对任意的实数ｎ∈Ｎ＋，点

7、（ｎ，Ｓｎ）１－ａｘ均在函数ｙ＝ｂ＋ｒ（ｂ＞０，ｂ≠１，ｂ、ｒ均为常数）的图像ａ（ｘ－１）（ｘ－）ａ＝ｂｎ＋ｒ，上．所以Ｓ．ｎ２ｘ当ｎ＝１时，ａ＝Ｓ＝ｂ＋ｒ，当ｎ≥２时，ａ＝Ｓ－１１ｎｎ１１－ａ＝ｂｎ＋ｒ－（ｂｎ－１＋ｒ）＝ｂｎ－ｂｎ－１＝（ｂ－１）ｂｎ－１Ｓ，（ⅰ）当０＜ａ＜时，＞１，若１＜ｘ＜ｎ－１２ａ又因为｛ａ｝为等比数列，则ａ也满足ａ，即ｂ－１ｎ１ｎ１－ａｎ－１，则ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）是减函数，所以ｇ（ｘ）＜＝ｂ＋ｒ，所以ｒ＝－１，公比为ｂ，ａｎ＝（ｂ－１）ｂ．ａｎ－１ｎ－１证明（Ⅱ）当ｂ＝２时，ａ＝（ｂ－１）ｂ＝２，ｂｎｎｇ（１）＝０，