2013周矶中学专题复习二次函数与菱形.doc

《2013周矶中学专题复习二次函数与菱形.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2013年中考数学专题复习二次函数与菱形28．(2012•兰州)如图，Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为(－3，0)、(0，4)，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B，且顶点在直线x＝上．(1)求抛物线对应的函数关系式；(2)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE，点A、B、O的对应点分别是D、C、E，当四边形ABCD是菱形时，试判断点C和点D是否在该抛物线上，并说明理由；(3)在(2)的条件下，连接BD，已知对称轴上存在一点P使得△PBD的周长最小，求出P点的坐标；(4)在(2)、(3)的条件

2、下，若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O、B不重合)，过点M作∥BD交x轴于点N，连接PM、PN，设OM的长为t，△PMN的面积为S，求S和t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，S是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时M点的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题。分析：(1)根据抛物线y＝经过点B(0，4)，以及顶点在直线x＝上，得出b，c即可；(2)根据菱形的性质得出C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，利用图象上点的性质得出x＝5或2时，y的值即可．(3)首先设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，求出解析式，当x＝时，求出y即

3、可；(4)利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，进而得出，得到ON＝，进而表示出△PMN的面积，利用二次函数最值求出即可．解答：解：(1)∵抛物线y＝经过点B(0，4)∴c＝4，∵顶点在直线x＝上，∴；∴所求函数关系式为；(2)在Rt△ABO中，OA＝3，OB＝4，∴AB＝，∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD＝DA＝AB＝5，∴C、D两点的坐标分别是(5，4)、(2，0)，当x＝5时，y＝，当x＝2时，y＝，∴点C和点D都在所求抛物线上；(3)设CD与对称轴交于点P，则P为所求的点，设直线CD对应的函数关系式为y＝kx＋b，则，解得：，∴，当x＝时，y＝，

4、∴P()，(4)∵MN∥BD，∴△OMN∽△OBD，∴即得ON＝，设对称轴交x于点F，第8页共8页则(PF＋OM)•OF＝(＋t)×，∵，()×＝，S＝(－)，＝－(0＜t＜4)，S存在最大值．由S＝－(t－)2＋，∴当S＝时，S取最大值是，此时，点M的坐标为(0，)．点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，以及菱形性质和待定系数法求解析式，求图形面积最值，利用二次函数的最值求出是解题关键．26．（2012•烟台）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C．动点P从

5、点A出发，沿线段AB向点B运动．同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P，Q的运动速度均为每秒1个单位．运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P，Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C，Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．考点：二次函数综合题。分析：（1）根据矩形的性质可以写出点A得到坐标；由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y=a（x﹣

6、1）2+4，然后将点C的坐标代入，即可求得系数a的值（利用待定系数法求抛物线的解析式）；（2）利用待定系数法求得直线AC的方程y=﹣2x+6；由图形与坐标变换可以求得点P的坐标（1，4﹣t），据此可以求得点E的纵坐标，将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标；然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4﹣、点A到GE的距离为，C到GE的距离为2﹣；最后根据三角形的面积公式可以求得S△ACG=S△AEG+S△CEG=﹣（t﹣2）2+1，由二次函数的最值可以解得t=2时，S△ACG的最大值为1；（3）因为菱形是邻边相等的平行四边形，所以点H在直线EF上

7、．解答：解：（1）A（1，4）．…（1分）由题意知，可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4∵抛物线过点C（3，0），∴0=a（3﹣1）2+4，解得，a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．…（2分）（2）∵A（1，4），C（3，0），∴可求直线AC的解析式为y=﹣2x+6．∵点P（1，4﹣t）．…（3分）∴将y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得点E的横坐标为x=1+．…（4分）∴点G的横坐标为1+，代入抛物线的解析式中，可求点G的纵坐标为4﹣．∴GE=（4﹣）﹣（4﹣t）=t﹣．…（5分）又点A到GE的距离为，C到GE的

8、距离为2﹣，第8页共8页即S△ACG=