全国高中数学联赛加试-试题参考答案及评分标准A卷.doc

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1、2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）1．如图，，分别为锐角三角形（）的外接圆上弧、的中点．过点作交圆于点，为的内心，连接并延长交圆于．⑴求证：；⑵在弧（不含点）上任取一点（，，），记，的内心分别为，，求证：，，，四点共圆．【解析】⑴连，．由于，，，，共圆，故是等腰梯形．因此，．连

2、，，则与交于，因为，所以．同理．于是，．故四边形为平行四边形．因此（同底，等高）．又，，，四点共圆，故，由三角形面积公式于是．⑵因为，所以，同理．由得．由⑴所证，，故．又因，有．故，从而．因此，，，四点共圆．1．求证不等式：，，2，…【解析】证明：首先证明一个不等式：⑴，．事实上，令，．则对，，．于是，．在⑴中取得⑵．令，则，因此．又因为．从而．1．设，是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数，使得与互素．【解析】证法一：对任意正整数，令．我们证明．设是的任一素因子，只要证明：．若，则由．及，且，知且．从而．证法二：对任意正整数，令，我们证明．设

3、是的任一素因子，只要证明：．若，则由．即不整除上式，故．若，设使，但．．故由及，且，知且．从而．1．在非负数构成的数表中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，，，，，，，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列（，2，…，9）均存在某个使得⑶．求证：（ⅰ）最小值，，2，3一定自数表的不同列．（ⅱ）存在数表中唯一的一列，，2，3使得数表仍然具有性质．【解析】（ⅰ）假设最小值，，2，3不是取自数表的不同列．则存在一列不含任何．不妨设，，2，3．由于数表中同一行中的任何两个元素都不等，于是，，2，3．另一方面，由于数表

4、具有性质，在⑶中取，则存在某个使得．矛盾．（ⅱ）由抽届原理知，，中至少有两个值取在同一列．不妨设，．由前面的结论知数表的第一列一定含有某个，所以只能是．同样，第二列中也必含某个，，2．不妨设．于是，即是数表中的对角线上数字．记，令集合．显然且1，2．因为，，，所以．故．于是存在使得．显然，，2，3．下面证明数表具有性质．从上面的选法可知，．这说明，．又由满足性质．在⑶中取，推得，于是．下证对任意的，存在某个，2，3使得．假若不然，则，，3且．这与的最大性矛盾．因此，数表满足性质．下证唯一性．设有使得数表具有性质，不失一般性，我们假定⑷．由于，及（ⅰ

5、），有．又由（ⅰ）知：或者，或者．如果成立，由数表具有性质，则，⑸，．由数表满足性质，则对于至少存在一个使得．由及⑷和⑹式知，，．于是只能有．类似地，由满足性质及可推得．从而．