（高考复习教学教案）年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准.pdf

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1、2011年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（A卷）说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分；2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，P,Q分别是圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD的中点．若∠BPA=∠DPA，证明：∠AQB=∠CQB．DDQQAAFPPBCBCE证明延长线段DP与圆交地另一点E，则∠CPE=∠DPA=∠BPA，又P是线段AC的中∩∩点，故AB=CE，从而∠CDP=∠BDA

2、．………………10分ABPC又∠ABD=∠PCD，所以△ABD∽△PCD，于是=，即BDCDAB⋅CD=PC⋅BD………………20分11从而有AB⋅CD=AC⋅BD=AC⋅(BD)=AC⋅BQ，22ABBQ即=．ACCD又∠ABQ=∠ACD，所以△ABQ∽△ACD，所以∠QAB=∠DAC．………………30分∩∩延长线段AQ与圆交于另一点F，则∠CAB=∠DAF，故BC=DF．又因为Q为BD的中点，所以∠CQB=∠DQF．又∠AQB=∠DQF，所以∠AQB=∠CQB．………………40分2011年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案第1页（共4页）二、（

3、本题满分40分）证明：对任意整数n≥4，存在一个次多项式nnn−1f(x)=x+ax+L+ax+an−110具有如下性质：（1）a,a,L,a均为正整数；01n−1（）对任意正整数2m，及任意k(k≥)2个互不相同的正整数r,r,L,r，均有12kf(m)≠f(r)f(r)Lf(r)．12k证明令f(x)=(x+1)(x+)2L(x+n)+2，①………………10分将①的右边展开即知f(x)是一个首项系数为1的正整数系数的n次多项式．下面证明f(x)满足性质（2）．对任意整数t，由于n≥4，故连续的个整数nt+,1t+,2L,t+n中必有一个为4的倍数

4、，从而由①知f(t)≡2(mod)4．………………20分因此，对任意k(k≥)2个正整数r,r,L,r，有12kkf(r)f(r)Lf(r)≡2≡0(mod)4．12k但对任意正整数m，有f(m)≡2(mod)4，故f(m)≡/f(r)f(r)Lf(r)(mod)4，12k从而f(m)≠f(r)f(r)Lf(r)．12k所以f(x)符合题设要求．………………40分2011年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）答案第2页（共4页）三、（本题满分50分）设a,a,L,a(n≥)4是给定的正实数，a

5、(≤ij，即k有n−j种选法，故g(r)≤n−j．从而jg(r)≤min{j−,1n−j}．………………30分j因此，当为偶数时，设nn=2m，则有n−1m

6、−12m−1f(r)=g(r)=g(r)+g(r)n∑j∑j∑jj=2j=2j=mm2m−1m(m−)1m(m−)1≤∑(j−)1+∑2(m−j)=+j=2j=m+122222n=m−m

7、个正整数．称A中的一个m×n1(≤m≤1,3≤n≤)9方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A中的一个1×1的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．解首先证明A中“坏格”不多于25个．用反证法．假设结论不成立，则方格表A中至多有1个小方格不是“坏格”．由表格的对称性，不妨假设此时第1行都是“坏格”．设方格表A第i列从上到下填的数依次为a,b,c,i=,2,1L9,．记iiikkSk=∑ai,Tk=∑(bi+ci,)k=,2,1,0L9,，这里S0=T0=0．………10分i=1i=1我们证明：三组数

8、S,S,L,S；T,T,L,T及S+T,S+T,L,S+T都是模10的完019019001199全剩余系．事