构造辅助函数 探究解题方法-论文.pdf

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1、lY解：分别考虑左边两个因式的符号情况．记f()=(n一1)一1，g(x)=一伽～1．易见两个函数的图象都过点(0，一1)又抛物线g(x)开口向上，必与轴一矗：半轴有一个交点(，0)，则当∈(0，2)时，g(x)<0；当∈(2，+∞)时，g()>0(见图3)．图1图2M时，IOCl最大．此时IOCI=lOMl+IMCI=2+1=3．而要使∈(O，+)时，图3，(x)g(x)≥0，男么应使∈(O，2)六、式子与图形时，厂()<0；∈(，+)时()>0．结合图3知，直线，数学中的式子——代数式、方程式、不等式

2、，都与函数密切相关，而函数与其图象又相互对应．这样，可得抽象的式子转化()过点(，o)·由／()=o，得：·为形象直观的图形来认识掌控，从而显化问题，化难为易．再由g‘)=o，化得2口一3。=o，又由图3知。一1>例6(2012年高考浙江卷17题)设o∈R，若>0时，均有[(0—1)一1](一n一1)≥0，贝40=——．0，所以取得o：÷．实际上，辩证思维的方向是多种多样的．在教学中能注意这些辩证思维的启迪、培养，是对学生进行辩证法教育，是提高数学素养的重要方式．江苏省东台中学(2242oo)]构造辅助函

3、数探究解题方法■韩旺鼎造辅助函数即经过适当的数学变化和构造，使一个非函数(2，+。。)时，g()>0，所以g(2)为g()的极小值．所以问题转化为函数形式，然后通过类比、联想、转化，回归到函数问g()≥g(2)=0，所以，()≥0，所以l厂()无极值，故选题，运用函数的图象和性质，使问题获得解决．本文对高中数学(D)．中涉及的六个问题通过构造辅助函数运用函数的思想方法加点评：本题考查的是二次求导后确定函数的极值．以解决．二、构造辅助函数。解决数列问题一、构造辅助函数。解决极值问题数列是定义域为正整数集(或

4、为正整数集的某一子集)的对原函数求导后，不能解决题目所涉及的问题，还需另外函数．构造新的函数，对新的函数进行求导数(即二次求导)，将会使例2(2012年江西6)观察下列各式：o+b=1，a+b=问题得以解决．3，口+b=4，0+b=7，。+b：11，⋯，贝4r上。n+bm=()例1(2013年辽宁12)设函数-厂()满足()+(A)28(B)76(C)123(D)199z2Dd解：设函数，(n)=。+6，贝0，(3)=f(1)+，(2)=1+2()÷(2)，则>0时()()3=4-,f(4)=f(2)+／

5、(3)=7(5)：f(3)+／(4)=11；(A)有极大值，无极小值，(6)=f(4)+，(5)=18(7)=f(5)+．厂(6)：29(8)(B)有极小值，无极大值=f(6)+／(7)=47(9)=f(7)+，(8)=76；f(1o)=(C)既有极大值又有极小值，(8)+厂(9)=123．即口+b=123，故选(C)．(D)既无极大值也无极小值点评：本题主要考查借助函数的思想方法及归纳推理的思解：由已知得，，()=￡二．设函数g()=e一想方法解决数列问题．对于求递推数列某一项、数列的最值等问1题，要借

6、助函数的有关知识解决．2()，贝0g()=e(1一．_)．∈(0，2)时，g()<0，E时无最大值，所以>不恒成立．、，孔综上①、②得，m的取值范围是(一，一1)．点评：本题主要考查将分式不等式转化为整式不等式及恒成立问题，同时考查分类讨论的数学思想方法．五、构造辅助函数，解决函数零点与方程根问题函数的零点与方程的根的关系：函数Y=f()的零点就是方程_，’()=0的实数根，也就是函数Y=f()的图象与轴交点的横坐标，即方程f()=0有实数根岱函数I厂()=0有零点铮函数Y=f(x)的图象与轴有交点．例5

7、(2010年浙江9)设函数／()=4sin(2x+1)一，则下列区间中函数，()不存在零点的是()蓐，⋯m(A)[一4，一2](B)[一2，0](C)[0，2](D)[2，4]解：设函数Y=4sin(2x十1)与Y=，在同一直角坐标系中0<5<2m，，画出两函数的图象，如图1，由数形结合的思想可知答案选(A)．点评：主要考查函数零点范围的确定，应用数形结合的思想lL8m<25．方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题【8m<36．⋯。1。／。4：＼Vi(2l．。咚．【8m<49．图1图2六、构造辅助函数、

8、解决参数的范围对于含代数式与超越式(指数式、对数式及三角式等)的不等式中求参数的取值范围，通过构造函数，进一步解决不等式中参数的范围．例6不等式。一lo‰<0，∈(0，1)时恒成立，则口的取值范围是()(A)01(D)0<。≤16解：设函数Y=，与Y=log。，∈(0，÷)，在同一直角坐<0，所以m一Tnx+m(一÷X)<0，~[J2m2