奥数知识点汇总(初二).doc

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1、奥数知识点汇总（初二）第一章有理式1、因式分解：常用方法有：（1）提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法；（2）换元法：换元法就是在一个比较复杂的代数式中，根据其特征，把其中的某些部分看成一个整体，并用一个新的字母（新元）代替，从而使这个代数式的结构简化，便于分解。（3）配方法：即利用拆添项法配成完全平方式。（4）待定系数法：将一个已知的多项式表示成另一种含有待定系数的新形式，这样就得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质列出几个含有待确定系数的方程（组），解这个方程（组）得出待定系数，或者从方程组中消去这些待定的系数，求出原来那些已知系数间所存在的关系，从

2、而把问题解决。（5）双十字相乘法：（6）拆添项法：（7）因式定理：我们将x的一元n次多项式记为f(x)，即，并记当x=a时，多项式f(x)的值为f(a)。余数定理——多项式f(x)除以x－b所得的余数等于f(b)。因式定理——如果x=b时多项式f(x)的值为零，即f(b)＝0，则f(x)能被x－b整除（即f(x)含有x－b的因式。（8）综合除法——求多项式除以x－b的商和余数。先用一般的除法计算：所以商式是，余式是。把演算简化如下：14这里，第一行是被除式按降幂排列时的各项系数，如果有缺项，必须用零补齐，移下第一个系数乘b，加上第二个系数，依次进行，算得得第三行就是商

3、式各项得系数及余数。用这种算式进行除法叫综合除法。被除式不是二次时，综合除法同样适用。（9）对称式与轮换对称式：一个含有多个字母的式子，如果将任意两个字母互换而式子不变，那么这个式子叫做关于这些字母的对称式。如x+y+z，，xy+yz+xz都是关于x、y、z的对称式。一个含有多个字母的式子，如果将所有的字母依次替换而式子不变，那么这个式子叫做关于这些字母的轮换对称式。如x+y+z，，xy+yz+xz都是关于字母x、y、z的轮换对称式。注意：对称式一定是轮换对称式，轮换对称式却不一定是对称式。例如，虽然是轮换式，但是如果把x、y互换，那么就有。显然≠，所以不是对称式。容

4、易证明，两个对称式（或轮换式）的和、差、积、商仍为对称式（或轮换式）。2、分式的变形与求值：常用方法有：比例性质（如设连比值为k或），拆项，倒数的性质，配方法，加减消元，代入消元等。3、代数式的恒等证明：由于等式的形式是多种多样的，所以等式的证明也有所不同，必须根据所证等式的具体情况进行具体分析。一般有这么两种等式：一种是无条件恒等式，另一种是条件等式。例如两个分式和，恒等记为,当且仅当且时上式成立，根据这个定义，分式恒等式的证明，可转化为多项式的恒等证明。有的可用恒等定理。恒等定理——等式两边都是关于某一字母的n次多项式，取此字母的n+1个不同的值代入两边，如果所得

5、的值都相等，则原式是恒等式。常用方法有：比较法，恒等定理，拆项求和法等。4、条件等式：代数条件等式的证明，关键在于找出条件与结论之间的联系。有的需要将条件直接代入到结论中，有的从条件出发推出结论，但主要途径是灵活运用恒等变换。常用方法有：利用分数的基本性质，构造条件或结论中的式子；利用公式变形；因式分解；消元法（就是又一些元素之间的等量关系，通过n次恒等变换，消去其中某些元素而得出其他一些元素间的等量关系的解题方法。）第二章根式与指数式1、实数与算术平方根：14有理数和无理数统称实数。有理数是可以用分数表示的数（其中m、n互质且n≠0）,或者说有理数可以写成有限小数或

6、循环小数的形式。无理数是不能用分数（包括分母为1的情形）表示的数，它只能表示为无限不循环小数。根据数的四则运算知识，有理数与无理数的代数和、乘积、商（积和商中的有理数一般不为零）其结果是无理数。当证明一个数或一个代数式为无理数或无理式时，常用方法是反证法。比较两数大小常用方法有：作差法；作商法；分子有理化法；分母有理化法；找中间值法；放缩不等式法；平方法；配方法等。2、二次根式的化简：常见题型及常用方法：（1）分母有理化：关键是寻求分母的有理化因式，通常是在根式中运用乘法公式，或根据分母的特性找出一般规律，由一般规律化简，得出简单结论，即从一般项入手寻求解题规律。如：

7、（2）恒等式证明：常用方法有从一般到特殊的方法；分解因式法等。（3）求代数式的值：常用方法有：整体代入法；换元法及恒等变形等。3、复合二次根式：复合二次根式的化简公式：说明：当是完全平方数时，便可用上面公式，把复合二次根式化简为两个简单的二次根式的代数和的形式，但复合二次根式的化简也可以利用配方法，即将被开放数配成两数和或两数差的完全平方，然后去掉外层根号。对有的题目来说，配方法比公式法更简便，有的还可以用待定系数法，设被开方数为两个简单根式、的和或差的完全平方，然后由待定系数法求出x、y。常用方法有：公式法；配方法；待定系数法；整体代入法；换元法；