齐次线性方程组有全非零解的判定方法-论文.pdf

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1、济南职业学院学报Aua2014No．4(SerialNo．105齐次线性方程组有全非零解的判定方法林海如(揭阳职业技术学院，广东揭阳522000)摘要：首先给出系数矩阵为阶方阵的齐次线性方程组有全非零解的充要条件及通解；然后，给出一般系数的齐次线性方程组有全非零解的充要条件，同时分别举例说明它们的应用。关键词：齐次；全非零解；判定中图分类号：O151文献标志码：B文章编号：1673—4270(2014)04—0046—021引言引理l对于齐次线性方程组(1’)，名det(A)=0，在有理插值逼近u、3个幂等矩阵线性组合为而det(A)中某

2、一元素j的代数余子式A{j≠0，则零等问题中，需要判断其对应的齐次线性方程组这个方程组的解都可以写成，：，⋯的形是否有全非零解。文嘲中给出了一般系数齐次线性式，此处女是任意实数。方程组有全非零解的一个判定方法。鉴于此，本文2主要结果首先给出系数为阶方阵的齐次线性方程组有全非零2．1系数为妇阶方阵的齐次线性方程组解的一个充要条件及通解，然后给出一般系数的齐定理1若A为／／阶方阵，det(A)中某一元素次缵I生方程组有全非零解的一个充要条件。的代数余子式A≠0，则线性方程组AX=0有全非考虑一般形式的齐次线性方程组：零解的充要条件是det(A

3、)=0，且对于上述的i，有lal1五十a12x2+⋯+alHn：0Af1，”fn全不为零，其通解为，，，⋯。证明：充分性：由引理1知，这个方程组的解都可以1la2l+a22x2+⋯+a2H”：0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯‘’写成，，⋯的形式，只需取七≠0，即可得齐次线性方程组的所有全非零解。【amlX1+am2x2+⋯+口m"=0必要性：由于齐次线性方程组有非零解，所以rl，口1ldet(A)=0，又存在代数余子式A≠0，由引理1知，这个方程组的解都可以写成(，，．，⋯)的形22记：1I．．’式，k是任意实数。假设存在七(1≤k≤k≠，)，使

4、得A则解的第七个分量恒为0，与方程组有全l非零解矛盾，所以，对于上述的f，有··阵。=(，x2，⋯，)r，则(1)可写成全不为零。例1求证齐次线性方程组AX=0(1’)定义1若是齐次线性方程组的解，且每一个分量都不为零，则称为齐次线性方程组的全非零解。作者简介：林海如(1987一)，女，广东揭阳人，揭阳职业技术学院师范教育系助教。·46·有全非零解，并求出其解。的任意11一1个列向量线性无关矛盾，所以齐次线性证明I25f方程组X=0有全非零解。：’．。Jf3137—82fj=0．-．方程组有非零解，而例2判断齐次线性方程组是否存在全非零解

5、。IX1+X2+2x3=0代数余子式A3l=-19，A32：7，A33=lI2++3=0由定理l知，齐次线性方程组有全非零解，且XI—x1+3x2+2x3=0=(一l9k，7k,k)，k为任意数。2．2一般系数的齐次线性方程组l3一+2=0定理2齐次线性方程组(1)有全非零解的充要解：系数矩阵列向量为：(12一l3)，条件是<竹，且系数矩阵的任意1个：(1l3—1)-(2322)容易看出，列向量线性无关。列向量满足+=53，．‘．尺(，52，53)<3，证明：必要性：记=(al，a2，⋯，)，任取rt-1所以齐次线性方程组有非零解，又任意

6、两个列向量个列向量，，⋯，，考查线性无关，由定理2知，齐次线性方程组有全非零解。k,5i++⋯+1=0,一若(1一1)不全为0，参考文献·。·klSi++⋯++O。=0[1]王家正．矩形网格上一类二元有理插值问题IJ]．工科数学，1999一l，,一，(2)：l1．所以，一．，．，，0)是方程组的非零解，[2]杨忠鹏，连函生．幂等矩阵线性组合表出零矩阵和单位矩阵与齐次线性方程组．X=0有全非零解矛盾，所以的研究[J]．厦门大学学报(自然科学版)，2009，(3)：310．⋯Oti，，，线性无关。[3】马小霞，唐军强．齐次线性方程组存在全非零

7、解的一个判定,一。方法lJ】．焦作大学学报，2009，(1)：80．充分性．．

8、<11，．·．则齐次线性方程组[4]张禾瑞，郝钢新．高等代数(第四版)[MJ．北京：高等教育出版X：0有非零解。社，1999：5，169．设非零解的分量不全不为零，则jj(1j刀)，(责任编辑：孙建霞)使得l+⋯+Xi一15i一1++1川+⋯+X”=0，所以，⋯，-l，+l，⋯线性相关，这与※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※※(上接第21页)学生管理和学生交流，既是一项技术活，也是一项工具”，在高职院校

9、学生管理工作中，形成具有创体力活，需要教师和学校时时刻刻地关注，耐心地新精神的“微管理”，必然能够进一步提升高职院引导，并且在运行周期方面时间较长，特别是对于校的育人工作水平，从而为培养更多高