非齐次线性方程组同解的判定和同解类.doc

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1、非齐次线性方程组同解的判定和同解类摘要本文主要讨论两个非齐次线性方程组同解的条件及当两个非齐次线性方程组的导出组的解空间相同时解集之间的关系。关键词非齐次线性方程组同解陪集引言无论是解齐次线性方程组，还是解非齐次线性方程组.所用的方法都是消元法，即对其系数矩阵或增广矩阵施以行的初等变换，而得到比较简单的同解方程组.用矩阵理论来说，就是系数矩阵或增广矩阵左乘以可逆矩阵后所得线性方程组与原线性方程组据有相同的解.这仅为问题的一面，而问题的反面是，如果两个非齐次线性方程组同解，则它们的系数矩阵或增广矩阵之间是否存在一个可逆矩阵？答案是肯定的，此即是本文主要解决的问题

2、.预备知识定理1设是向量组两个线性无关的极大组，则存在可逆矩阵,使得。定理2设A、B为矩阵，且秩=秩，如果存在矩阵,使得则存在可逆矩阵，使得证明设秩=秩=，则存在可逆矩阵与使,其中，分别为秩数等于的矩阵，由于，则的行可由的行线性表出，从而的行可由的行线性表出，进而的行可由的行线性表出，于是矩阵的行向量组的极大线性无关组为的各行，因为的各行线性无关且秩，所以的各行亦构成一个线性无关组，则存在可逆矩阵使得又设，令则为可逆矩阵，且记,则.且可逆.定理3如果非齐次线性方程组与同解，则矩阵与的秩相等.1、非齐次线性方程组同解的判定定理1、1设A、B都为矩阵，与同解的判定

3、定理定理4设A、B为矩阵，则齐次线性方程组与同解的充要条件是存在可逆矩阵使得.证明充分性若是的解.即.可得,所以。即是的解必要性设与的同解,所以与同解。则.其中表示矩阵的秩.若，则可以取任意的矩阵;若设的行向量分别是为了讨论方便，不妨设的极大无关向量组为，的极大无关向量组为，则可由线性表出，设表示式为令即存在可逆矩阵P使得.定理5设A、B为矩阵，则非齐次线性方程组与有解且同解，则它们的导出组与同解.证明设为的解，为的一个特解.则由非齐次线性方程组与同解及线性方程组的性质可知为的一个特解，为与的解.所以是的解.反之设为的解，同样可以证明，为的解.所以与同解.定理

4、6设A、B为矩阵，则非齐次线性方程组与都有解，则它们同解的充要条件是存在可逆矩阵使得，.证明充分性显然成立.必要性设与同解，由定理5得，与同解.又由定理4可知存在可逆矩阵使得.设为与的解.即从而所以结论成立.定理非齐次线性方程组和同解的充分必要条件是存在可逆矩阵使得（2）证明充分性如果存在可逆矩阵使得（2）式成立，则对的任意解，有所以故是的一个解.反之对的任意解，把（2）式改写为（3）同理可证，是的一个解.所以和同解.必要性因为和同解，则，从而（4）通过行初等变换，总可以求出与的行向量组的线性无关极大组.即存在可逆矩阵与使得式中的行向量分别是的行向量的线性无关

5、极大组.这里记为矩阵的行向量生成的向量空间.由式（4）及与的构造知与的行向量分别构成的一个基底.故存在可逆矩阵C使得令式中为单位阵.显然是可逆的，从而.记,那么是可逆的，且.把式（2）改写为便可得到用行初等变换来判断和是否同解的方法，若同解，那么可用如下的方法求出：在增广矩阵的左边写上单位矩阵，对进行行初等变换，当把化成时，便相应地化成，此时和同解.若化不成，则此方程组不同解.1、2求可逆矩阵的方法定理非齐次线性方程组和同解的充分必要条件是存在可逆矩阵使得（2）证明充分性如果存在可逆矩阵使得（2）式成立，则对的任意解，有所以故是的一个解.反之对的任意解，把（2

6、）式改写为（3）同理可证，是的一个解.所以和同解.必要性因为和同解，则，从而（4）通过行初等变换，总可以求出与的行向量组的线性无关极大组.即存在可逆矩阵与使得式中的行向量分别是的行向量的线性无关极大组.这里记为矩阵的行向量生成的向量空间.由式（4）及与的构造知与的行向量分别构成的一个基底.故存在可逆矩阵C使得令式中为单位阵.显然是可逆的，从而.记,那么是可逆的，且.把式（2）改写为便可得到用行初等变换来判断和是否同解的方法，若同解，那么可用如下的方法求出：在增广矩阵的左边写上单位矩阵，对进行行初等变换，当把化成时，便相应地化成，此时和同解.若化不成，则此方程组

7、不同解.例1判别方程组与方程组是否同解？解=可见这两个方程组同解，且.1、3设A为矩阵，为矩阵，，与同解的判定定理定理7齐次线性方程组和，A为矩阵，为矩阵，同解的充要条件是：存在阶可逆矩阵使其中是零矩阵.证明充分性设是的解，则，即，亦即可得,从而也是的解；反之若是的解,则，有即，由的可逆性知，也即也是的解.所以和同解.必要性若和同解，则秩=秩=，因此与的行向量等价.当=0时，可取为任意阶可逆矩阵.当时，设与的行向量分别是为了讨论方便，不妨设的极大无关向量组为，的极大无关向量组为，则可由线性表出，设表示式为这里显然有也可由线性表出，设表示式为即也可由线性表出，设

8、表示式为即将上面三个式子用矩阵的形式表