运用整体思想求解数列问题

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1、世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com运用整体思想求解数列问题整体思想是一种着眼于问题的整体结构，以统摄的方法抓住问题的全貌或本质的思想。由于数列本身就是一个特殊的整体，所以运用整体思想解数列问题，具有决定全局的重大意义，它使问题的解决进入到了一种无可比拟的胜境。一、整体代入把已知条件作为一个整体，直接代入或组合后代入所求的结论。例1：在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1+log3a2+…+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log35解析：∵log3a1+

2、log3a2+…+log3a10=log3(a1·a2…a10)=log3(a5a6)5=5log39=5×2=10，故应选B。例2：等差数列{an}的前10项和S10=100，前100项和S100=10，则前110项和S110等于（）A.-90B.90C.-110D.110解析：∵S100-S10=a11+a12+…+a100==45(a1+a110)=-90，∴a1+a110=-2故S110==-110，所以应选C。二、整体求解把所求的结论作为一个整体，由已知条件变形或计算便得。例3：在等比数列{an}

3、中，若a1>0，且a2a4+2a3a5+a4a6=16，则a3+a5的值为_______。解析：由已知条件得a32+2a3a5+a52=16，即(a3+a5)2=16，解之得：a3+a5=±4。∵a1>0，∴a2n-1>0，故a3+a5=4。例4：设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12>0，S13<0，则指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由。解析：由S12==6(a6+a7)>0，得a6+a7>0；又S13==13a7<0，∴a6>0，故S6最大。三、整体转化把求解的过程作为一个整体，

4、寓整体于转化之中。例5：已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足条件：a1=b1=a>0，a2n+1=b2n+1=b。试比较an+1与bn+1的大小。解析：由a1=b1=a>0，知a2n+1=b2n+1=b>0。∴an+1-bn+1=，故an+1≥bn+1。四、整体换元把陌生的或复杂的式子进行整体换元，这是一种化生为熟、以简驭繁的解题策略。例6：已知等差数列{an}的前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32，求公差d。解析：设前12项中奇数项和与偶数项和分别为S奇和S偶，则有，据此

5、得：，即，解之得：S奇=162，S偶=192。第2页（共2页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司世纪金榜圆您梦想www.jb1000.com故由S偶-S奇=6d=30，解之得：d=5。一、整体假设把不确定的结论假设成一个整体，这是解决开放性问题的有效方法。例7：已知等比数列{an}的首项a1>0，公比q>0，q≠1；等差数列{bn}的公差d>0，问是否存在一个常数a，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。解析：假设存在常数a，使得logaan-bn=k（定值）①则logaan+1-bn+1=k(定值)②②

6、-①得：loga(bn+1-bn)=0，即logaq=d，解之得a=，故存在一个常数a=，使得logaan-bn为不依赖于n的定值。二、整体构造把局部的构造成一个整体，这是在整体中求发展的一大创举。例8：若等差数列{an}的m项和与前n项和分别记为Sm与Sn，且(m≠n)。求证：。证明：=。第2页（共2页）山东世纪金榜科教文化股份有限公司