运用数学思想求解数列问题-人教版[特约]

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1、运用数学思想求解数列问题小学数学学科在培养和提高人的思维力方面有着独特作用，是因为屮学数学不仅仅是一种重要的“工具”和“方法”，而且还是一种思维模式，概括为数学思想方法，中学数学的这种独特作用是其他学科所不可替代的。实行高考改革以来，数学科目考试强调“以能力立意命题”，正是为了更好地体现数学这一学科特点，并通过对数学思想方法的考杳，更好地促进学生的数学理性思维的发展。因此，在高屮数学教学过程屮，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，就显得更为重要。下面通过儿道例题浅谈在数列问题的教学中，所感受到的数学思

2、想方法。1、方程思想等差（比）数列一般涉及五个基木量：5，d（或q）,n，5，S「于是“知三求二”成为等差（比）数列屮的基木问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。例1：等差数列｛%｝的前门项和为和US12二84,S2。二460,求S2&解：由已知得

3、%+12（12-1）心4V220（12-1）,—20%+d=460I12解得％=-15,J=4.故S28=28®+2&28_l）d=]092在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等

4、差（比）数列问题中得以广泛运用。2、函数思想数列可以看作定义域为正整数集（或其冇限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。（n—丁98例2：己知数列他J的通项,比较。10、如的大小。n-yJ99通常做法是先求出。10、°11，然后作商与1比较或作差判断符号。但无论作商yi—丁98还是作差，都不好做。这时正是渗透数学思想方法的良好契机，将色=——看n一a/99成是关于正整数集的函数，如果能判断该函数的增减性，则

5、可判断坷0、°11的大小。当n210n-V98/1-V99-V98+V99(V99-V98由色==p==1+知n-V99n-V99n-V99时,数列血为递减数列，所以坷o＞如.函数思想在数列中的运用不是学生容易想到的，学生往往对运用函数思想解决问题有一种可遇不可求的感觉，正是这种感觉说明学生的知识结构在函数应用方面的欠缺，问题的关键在于转化意识。由数列情景转变为函数情景，是运用函数思想解决问题的意识在起作用。3、分类讨论思想分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的

6、问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一•解决。分类的前n项的和为讨论使问题变得简单、清晰、明朗。例3：设等比数列｛%」的前n项的和为Sn，而数列Tn，求证：Sn=aanTn-证明：设等比数列h｝的公比为q。1心+1q11是首项为一，公比为一的等比数列。%q(1)当q=l时,Sn=nabTn=—%(2)当qHl时，Snq・・・axaJn=a5广'i_q"二%(i_g“)二$-q-q由⑴(2),所以s”=aianTno分类讨论，前提是要讨论的对象有着多种不同的情况，这些不同的情况有的显露在算式之中，

7、有的隐含在概念之内。在解决问题当中，必须概念清晰，必须对问题的本质冇深刻的理解，才会想到需耍分类讨论，才能准确确定要讨论的对象，并按情况需要止确地进行讨论。分类讨论思想是数学学科特点Z-,在运用数学方法解决实际问题当中有着广泛的应用，分类讨论在中学教学中经常出现，具有自然而來，层次分明的特征。4、整体思想整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。整体思想的灵活运用，通常是将问题从多兀向-•兀简化，使问题的解决方式变得明朗、简洁。例4：数列｛纟」为正项等比数列，它的前n项和为80,其中数值最

8、大的项为54,前2n项的和为6560,求此数列的首项色和公比q。解：由已知有S2n>2Sn,故qHl。依题意，有一八=80,（1）1-q<5（1-厂‘）=6560,（2）1-q⑵得]_§”=82（1）侍‘1-“・・・『二81.由题意知q>l,所以前n项屮第n项最大，即an=54.将q”=81代入an=axqn~得54^=81^.⑶将q-81代入⑴得％=q—l・（4）联立（3）、（4）,解得d]=2,g=3.整体思想出现在问题解决当中，具有一气呵成、豁然开朗的特质，呈现结构明快、巧妙生成、简洁流畅的思维特征。

9、整体思想的运用基于对问题的敏锐观察力，基于缜密的分析思考，往往在经过观察分析过后迸发出的灵感。在问题解决中懂得运用整体思想，一般依赖于解题经验的积累，其运用场合是由多元问题转化为一元问题。5、转化与化归思想转化与化归思想是将陌生、复朵的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法。数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决。例5：已知数列的前n项和为3,若绚=1,S〃=［心5»2),求％.“