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1、.抽象函数的单调性专题突破一类：一次函数型函数满足：f(ab)f(a)f(b)k或f(ab)f(a)f(b)k例1、f(x)对任意x,yR都有：f(xy)f(x)f(y)，当x0时,f(x)0，又知f(1)2，求f(x)在x3,3上的值域。例2、f(x)对任意实数x与y都有f(x)f(y)f(xy)2,当x0时,f(x)25（1）求证:f(x)在R上是增函数；（2）若f(1),解不等式f(2a3)32【专练】：1、已知函数f(x)对任意x，yR有f(x)f(y)2f(xy)，当x0时，f(x)2，f(3)5，2求不等式f(a2a2)3的解集。2、定义在R上的函数f(x)满足：对任意x，y
2、∈R都有f(xy)f(x)f(y)，且当x0时,f(x)0xxx(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．..a二类：对数函数型函数满足：f(agb)f(a)f(b)或f()f(a)f(b)b例1、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy)=f(x)+f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3)=-1.1(1)f(1)和f()的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数；（3）解不等式f(x)+f(2-x)<2。9a例2、定义在(0,)上函数yf(x)对任意的正数a,b均有：f()f(a)f(b)，且当x1时，f(x)0,
3、b（I）求f(1)的值;（II）判断f(x)的单调性,x【专练】：1、定义在(0,)上的函数f(x)对任意的正实数x,y有f()f(x)f(y)且当0x1时，y1f(x)0.求:(1)f(1)的值.(2)若f(6)1,解不等式f(x3)f()2；x..2、函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0,又f(2)1，（1）求证：f(x)是偶函数；（2）f(x)在(0,)上是增函数（3）解不等式2f(2x1)23、设f(x)是定义在(0,)上的函数，对任意x,y(0,)，满足f(xy)f(x)f(y)且当x1时，
4、f(x)0。x（1）求证：f()f(x)f(y)；（2）若f(5)1，解不等式f(x1)f(2x)2.y..f(a)三类：指数函数型函数满足：f(ab)f(a)gf(b)或f(ab)f(b)例1、定义在R上的函数f(x)，满足当x0时，f(x)1,且对任意x,yR,有f(xy)f(x)f(y),2又知f(1)2.（1）求f(0)的值；（2）求证：对任意xR都有f(x)0；（3）解不等式f(3xx)4；【专练】：1、定义在R上的函数yf(x)对任意的m,n都有f(mn)f(m)gf(n)，且当x0时，20f(x)1，（I）证明：xR都有f(x)0；（II）求证：yf(x)在R上为减函数；（
5、III）解不等式f(x)·f(2x-x)>1。2、若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(ab)f(a)f(b)，且当x0时，f(x)1；121（1）求证：f(x)0；（2）求证：f(x)为减函数（3）当f(4)时，解不等式f(x3)f(5x)；164..af(a)四类：幂函数型函数满足：f(agb)f(a)gf(b)或f()bf(b)例1、已知函数f(x)满足：①对任意x,yR，都有f(xy)f(x)gf(y)，②f(1)1,f(27)9,且当0x1时，f(x)0,1。（I）判断f(x)的奇偶性，（II）判断f(x)在0,上的单调性，并证明。（III）若a0，且3f(a1)9，求a的
6、取值范围。五类：其他类数函数型f(m)f(n)例1、定义在1,1上的奇函数yf(x)有f(1)1,且当m,n1,1时,总有:0,(mn),mn112（I）证明:f(x)在1,1上为增函数,(II)解不等式:f(x)f(),(III)若f(x)t2at1对所有2x1x1,1,a1,1恒成立,求实数t的取值范围...例2、定义在（）上的函数满足，对任意都有，且当时，有，（1）试判断的奇偶性；（2）判断的单调性；【专练】：1、已知定义在,1U(1,)上的奇函数满足：①f(3)1；②对任意的x2，均有f(x)0；③对任意的x,yR，均有f(x1)f(y1)f(xy1)；（1）试求f(2)的值；（
7、2）求证：f(x)在(1,)上是单调递增；（3）已知对任意的(0,)，不等式2f(cosasin)3恒成立，求a的取值范围，f(x)·f(y)＋12、已知函数f（x）的定义域为{x
8、x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f（xy）=成立，f(y)－f(x)且f（a）=1（a为正常数），当00．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和
