方格中正方形的计数问题

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1、方格中正方形的计数问题浙江省慈溪市-应妍浙江大学出版社出版的孟建平系列丛书《奥赛捷径》七年级数学第1讲“走进奥数世界”有这样一道题：“华师大版七年级教材第2节‘跟我学’有这样一个例题：在如图１－１所示３×３的方格图案中有多少个正方形？”（第1页例１），然后在此题点评中提出了“以图中各点为顶点的正方形一共有多少个？”。对于第一个问题书上的解答是：图中边长为1的正方形共9个，边长为2的正方形共4个，边长为3的正方形共1个。所以，图中正方形的总数为9+4+1=14（个）；对于第二个问题书上的解答是：除上述14个正方形外

2、，以每个小正方形的对角线为边的正方形而图１－１有4个，以两个小正方形的对角线为边的正方形还有1个，所以，图中各点为顶点的正方形共有14+4+1=19个。对于第二个问题的解，我不认同书上的答案，我认为两个小正方形的对角线为边的正方形有2个，如图１－2所示，所以图中各点为顶点的正方形共有14+4+2=20个。图１－2图１－3同样此书第1页做一做１－2：如果是4×4的方格图案中，以各点为顶点的正方形一共有_______个。书中给出的参考答案44个也是错误的，正确的应该是50个，我的解答如下：（1）在4×4的方格图案中正

3、方形个数有42+32+22+12=30；（2）在上述正方形外，①在每个边长为2的正方形中还有1个正方形（即以每个小正方形的对角线为边的正方形）（如图１－3），而边长为2的正方形有32个，所以，以1个小正方形的对角线为边的正方形有32×1个；②在每个边长为3的正方形中还有2个正方形（即以2个小正方形的对角线为边的正方形）（如图１－2），而边长为3的正方形有22个，所以，以2个小正方形的对角线为边的正方形有22×2个；③在每个边长为4的正方形中还有3个正方形（即以1×3方格的对角线为边的正方形和2×2方格的对角线为边

4、的正方形）（如图１－4），而边长为4的正方形有12个，所以，以1×3方格的对角线为边的正方形和2×2方格的对角线为边的正方形有12×3个。图１－4总之，4×4的方格图案中以各点为顶点的正方形一共有30+32×1+22×2+12×3=50个。同时，我还得到了一个一般的结论：在n×n的方格图案中以各点为顶点的正方形一共有n2+(n-1)2+…+22+12+(n-1)2×1+(n-2)2×2+…+22×(n-2)+12×(n-1)个。