效用函数的推导.doc

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1、消费集假设1：消费集X性质1.2.X是闭集3.X是凸集4.消费组合x是消费集X中的一个元素，代表n种商品的组合，代表商品i的数量。偏好关系用消费集X上的一种二元关系表示消费者偏好，若，则对于这个消费者来说，消费组合至少和一样好。要求这种二元关系满足下面两条公理：公理1.完备性——对于X上所有的和而言，要么，要么。公理2.传递性——对于X上任意三个元素、和，如果，且，则。定义1：偏好关系若上述二元关系满足公理1、2，则称其为偏好关系。定义2：严格偏好关系，当且仅当且不成立。关系被称为严格偏好关系（表示消费

2、组合比好。定义3：无差异关系，当且仅当且成立。关系被称为无差异关系（表示消费组合和无差异。定义4：令为消费集X中任意一点，定义X的下列子集1.，称为“至少和一样好”的集合；2.，称为“不比更好”的集合；3.，称为“比差”的集合；4.，称为“比好”的集合；5.，称为“与无差异”的集合。公理3：连续性——对于所有，“至少和一样好”的集合以及“不比更好”的集合是闭的。公理4：严格递增——对于所有的，如果，则有；如果，则有。（表示每一个分量都严格多于）公理5：严格凸性——如果且，则对于所有的而言，有。效用函数定

3、义5：表达偏好关系的效用函数实值函数u：。若对所有的，有，则该实值函数u就被称为代表偏好关系的一个效用函数。定理1：代表偏好关系的实值函数的存在性如果二元关系是完备的、传递的、连续的以及严格单调的，那么就会存在一个表示该关系的连续实值函数。定理2：效用函数的正单调变换的不变性令是上的一个偏好关系，假设为代表该关系的效用函数。对于每个x而言，当且仅当对所有的x，有时，其中在u的集值上是严格递增的，则也代表这种偏好关系。定理3：偏好关系与效用函数的性质令u：代表，则：1.是严格递增的，当且仅当是严格单调的；

4、2.是拟凹的，当且仅当是凸的；3.是严格拟凹的，当且仅当是严格凸的。