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1、青岛滨海学院教师教案课题§5.1向量的内积、长度及正交性需2课时教学目的要求掌握向量的内积、长度和正交性等概念，明确Schimidt正交化过程。教学重点1、内积、长度、正交性2、Schimidt正交化教学难点Schimidt正交化教案编写日期年月日教学内容与教学过程提示与补充回顾：空间、基、维数等概念讲授新课：定义1设有n维向量x=(x1,x2,×××,xn)T,y=(y1,y2,×××,yn)T,令[x,y]=x1y1+x2y2+×××+xnyn,[x,y]称为向量x与y的内积.内积是两个向量之间的一种运算,其结果是一个实数,用矩阵记号表示,当x与y都是列向量时,有[x,y]=xTy.内
2、积具有下列性质(其中x,y,z为n维向量,l为实数):(1)[x,y]=[y,x];(2)[lx,y]=l[x,y];(3)[x+y,z]=[x,z]+[y,z];(4)当x=0时,[x,x]=0;当x¹0时,[x,x]>0.这些性质可根据内积定义直接证明.利用这些性质,还可证明施瓦茨不等式:[x,y]2£[x,x][y,y].定义2令,
3、
4、x
5、
6、称为n维向量x的长度(或范数).当
7、
8、x
9、
10、=1时,称x为单位向量.向量的长度具有下述性质:(1)非负性当x¹0时,
11、
12、x
13、
14、>0;当x=0时,
15、
16、x
17、
18、=0;(2)齐次性
19、
20、lx
21、
22、=l
23、
24、x
25、
26、;(3)三角不等式
27、
28、x+y
29、
30、£
31、
32、x
33、
34、+
35、
36、
37、y
38、
39、.青岛滨海学院教师教案下面讨论正交向量组的性质.所谓正交向量组,是指一组两两正交的非零向量.定理若n维向量a1,a2,×××,ar是一组两两正交的非零向量,则a1,a2,×××,ar线性无关.证明设有l1,l2,×××,lr,使l1a1+l2a2+×××+lrar=0,以a1T左乘上式两端,得l1a1Ta1=0,因a1¹0,故a1Ta1=
40、
41、a1
42、
43、2¹0,从而必有l1=0.类似可证l2=l3=×××=lr=0.于是向量组a1,a2,×××,ar线性无关.例1已知3维向量空间R3中两个向量a1=(1,1,1)T,a2=(1,-2,1)T正交,试求一个非零向量a3使a1,a2,a3两
44、两正交.解记,a3应满足齐次线性方程Ax=0,即,由,得,从而有基础解系(-1,0,1)T,.取a3=(-1,0,1)T即合所求.定义3设n维向量e1,e2,×××,er是向量空间V(VÌRn)的一个基,如果e1,e2,×××,er两两正交,且都是单位向量,则称e1,e2,×××,er是V的一个规范正交基.例如,,,就是R4的一个规范正交基.设是a1,a2,×××,ar是向量空间V的一个基,要求V的一个规范正交基.这也就是要找一组两两正交的单位向量e1,e2,×××,er,使e1,e2,×××,er与a1,a2,×××,ar等价.这样一个问题,称为把a1,a2,×××,ar这个基规范正交化
45、.青岛滨海学院教师教案我们可以用以下办法把a1,a2,×××,ar规范正交化:取施密特正交化方法:设a1,a2,×××,ar是向量空间V中的一个基,取向量组,,××××××,.容易验证b1,b2,×××,br两两正交,且b1,b2,×××,br与a1,a2,×××,ar等价.然后只要把它们单位化,即取,,×××,,就是V的一个规范正交基.例2设a1=(1,2,-1)T,a2=(-1,3,1)T,a3=(4,-1,0)T,试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.解令,,.再把它们单位化,取,,.e1,e2,e3即为所求.定义4如果n阶矩阵A满足ATA=E(即A-1=AT),那么称A为正交矩
46、阵,简称正交阵.ATA=E用A的列向量表示,即是,亦即,青岛滨海学院教师教案这也就是n2个关系式(i,j=1,2,×××,n).这就说明:方阵A为正交阵的充分必要条件是A的列向量都是单位向量,且两两正交.因为ATA=E与AAT=E等价,所以上述结论对A的行向量也成立.由此可见,n阶正交阵A的n个列(行)向量构成向量空间Rn的一个规范正交基.例4验证矩阵是正交阵.证P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,所以P是正交阵.正交矩阵有下述性质:(1)若A为正交阵,则A-1=AT也是正交阵,且
47、A
48、=±1;(2)若A和B都是正交阵,则AB也正交阵.定义5若P为正交矩阵,则线性变换y=Px称为正交变
49、换.设y=Px为正交变换,则有.由于
50、
51、x
52、
53、表示向量的长度,相当于线段的长度,因此
54、
55、y
56、
57、=
58、
59、x
60、
61、说明经正交变换线段的长度保持不变(从而三角形的形状保持不变),这是正交变换的优良特性.小结：1、熟练掌握施密特正交化方法2、理解和掌握正交阵的概念和性质作业：P138.2青岛滨海学院教师教案课题§5.2方阵的特征值与特征向量需2课时教学目的要求1、掌握方阵特征值与特征向量的定义2、会求矩阵的特征值和特征向量教学重点特
