高三数学教案：正弦定理和余弦定理.docx

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1、讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abcsinAsinBsinC=2R例1．（1）、已知ABC中，A0，a3,求abc(=2)60sinBsinsinAC（2）、已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：例2（．1）、在ABC中，已知a23，，0

2、，求b及A（b22.A0c62B6060.）（2）、在ABC中，已知a80，b100，A450，试判断此三角形的解的情况。例3．在ABC中，已知a7，b5，c3，判断ABC的类型。a2b2c2A是直角ABC是直角三角形分析：由余弦定理可知a2b2c2是钝角ABC是钝角三角形Aa2b2c2A是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）解：Q725232，即a2b2c2，∴ABC是钝角三角形。练习：（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。（2）已知A

3、BC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三角形）例4在ABC中，A01，面积为3，求abc的值60，b2sinAsinBsinC分析：可利用三角形面积定理S1absinC1acsinB1bcsinA以及正弦定理222abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC解：由S1bcsinA3得c2，则a2b2c2bccosA=3，即a3，222从而abca2sinAsinBsinCsinA例题5、某人在M汽车站的北偏西20的

4、方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20第-1-页共2页千米后，到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得cosC=AC2BC2AB2=23,2ACBC31则sin2C=1-cos2C=4322,31sinC=123,31所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cos

5、C-cos120sinC=35362在MAC中，由正弦定理得MC=ACsinMAC=31sinAMC32353=35从而有MB=MC-BC=1562答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。练习题：1、判断满足下列条件的三角形形状，（1）、acosA=bcosB（等腰三角形或直角三角形）（2）、sinC=sinAsinB（直角三角形）cosAcosB2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=3，求：（1）AB的长（2）、求四边形ABCD的面积解（1）因为BCD=

6、75，ACB=45，所以ACD=30，又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，所以AD=DC=3在BCD中，CBD=180-（75+45）=60，所以BD=DC，BD=3sin75=62sin75sin60sin602在ABD中，AB2=AD2+BD2-2ADBDcos75=5,所以得AB=5（2）SABD=1ADBDsin75=323同理，SBCD=33244所以四边形ABCD的面积S=6334第-2-页共2页