高三数学教案：正弦定理和余弦定理.pdf

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1、讲义一正弦定理和余弦定理以及其应用一、知识与技能：掌握正弦定理和余弦定理，并能加以灵活运用。二、知识引入与讲解：Ⅰ、正弦定理的探索和证明及其基本应用：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即abc=2RsinAsinBsinC0abc例1．（1）、已知ABC中，A60，a3,求(=2)sinAsinBsinC（2）、已知ABC中，sinA:sinB:sinC1:2:3，求a:b:c（答案：1：2：3）Ⅱ、余弦定理的发现和证明过程及其基本应用：00例2．（1）、在ABC中，已知a23，c62，B60，求b及A（b22.A60.）0（2）、在

2、ABC中，已知a80，b100，A45，试判断此三角形的解的情况。例3．在ABC中，已知a7，b5，c3，判断ABC的类型。222abcA是直角ABC是直角三角形222分析：由余弦定理可知abcA是钝角ABC是钝角三角形222abcA是锐角ABC是锐角三角形（注意：A是锐角ABC是锐角三角形）222222解：Q753，即abc，∴ABC是钝角三角形。练习：（1）在ABC中，已知sinA:sinB:sinC1:2:3，判断ABC的类型。（2）已知ABC满足条件acosAbcosB，判断ABC的类型。（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC是等腰或直角三

3、角形）03abc例4在ABC中，A60，b1，面积为，求的值2sinAsinBsinC111分析：可利用三角形面积定理SabsinCacsinBbcsinA以及正弦定理222abcabcsinAsinBsinCsinAsinBsinC13222解：由SbcsinA得c2，则abc2bccosA=3，即a3，22abca从而2sinAsinBsinCsinA例题5、某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20第-1-页共2页千米后，到A的距离缩短

4、了10千米。问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？解：由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得222ACBCAB23cosC==,2ACBC3122432则sinC=1-cosC=,231123sinC=,31353所以sinMAC=sin（120-C）=sin120cosC-cos120sinC=62ACsinMAC31在MAC中，由正弦定理得MC==sinAMC32353=35从而有MB=MC-BC=1562答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。练习题：1、判断满足下列条件的三

5、角形形状，（1）、acosA=bcosB（等腰三角形或直角三角形）sinAsinB（2）、sinC=（直角三角形）cosAcosB2、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=3，求：（1）AB的长（2）、求四边形ABCD的面积解（1）因为BCD=75，ACB=45，所以ACD=30，又因为BDC=45，所以DAC=180-（75+45+30）=30，所以AD=DC=3在BCD中，CBD=180-（75+45）=60BDDC3sin7562，所以=，BD==sin75sin60sin602222在ABD中，AB=AD+BD

6、-2ADBDcos75=5,所以得AB=5132333（2）S=ADBDsin75=同理，S=ABDBCD244633所以四边形ABCD的面积S=4第-2-页共2页