高三数学总复习指导(理科)专题六平面向量.docx

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1、今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室专题六平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量AB,a,b,c自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，同的向量都看成是相等的向量．只要是长度相等，方

2、向相(2)向量的模：向量的长度，记作：

3、AB

4、,

5、a

6、向量的夹角：两个非零向量a，b，作OAa,OBb，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：〈a，b〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：a(a0)

7、a

8、(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a∥b向量垂直；〈a，b)＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直．2．向量的几何运算(注意：运算

9、法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．(2)减法：三角形法则．(3)数乘：记作：a．它的长度是：｜a｜＝｜｜·｜a｜它的方向：①当＞0时，a与a同向②当＜0时，a与a反向③当＝0时，a＝0(4)数量积：①定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功．②运算律：1．(交换律)a·b＝b·a2．(实数的结合律)(a·b)＝(a)·b＝a·(b)3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c③性质：设a，b是非零向量，则：今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室a·b＝0a⊥ba与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜a与b反向时，a·b＝－

10、｜a｜·｜b｜特殊地：a·a＝｜a｜2或

11、a

12、aa夹角：cosa,bab

13、a

14、

15、b

16、

17、a·b

18、≤

19、a

20、

21、b

22、3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)(2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)(3)数乘：a＝(x1，y1)(4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2(5)若a＝(x，y)，则

23、a

24、x2y2(6)ab若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则cosa,b

25、a

26、

27、b

28、x1x2y1y2x12y12x22y22(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

29、AB

30、(x1x2)2(y1y2)2

31、(8)a在b方向上的正射影的数量为

32、a

33、cosa,babx1x2y1y2

34、b

35、x22y224．重要定理(1)平行向量基本定理：若a＝b，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数使得a＝b(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝a1e1＋a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0x1x2(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则aby1y2【复习要求】1．准确理解相

36、关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】今天比昨天好这就是希望高中数学小柯工作室例1向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有()个(1)(b·c)a－(c·a)b与c垂直，(2)若a·c＝b·c，则a＝b，(3)(a·b)c＝a(b·c)，(4)a·b≤｜a｜｜b｜A．0B．1C．2D．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是

37、一个实数，因此[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以c(b·c)a－(c·a)b与c垂直；(2)假命题．a·c＝b·c≠a＝b；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；(3)假命题．(a·b)c≠a(b·c)，实际上(a·b)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(b·c)是与a方向相同